Ta có:

a) 

Hàm số bậc hai $y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha $

Khi đó, các hệ số của hàm số bậc hai là $a=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }<0 $ (do $g, v_{0}^{2}, cos^{2}\alpha$ luôn dương), b = tanα, c = 0.

b) 

Toạ độ đỉnh $I(x_{I}; y_{I})$ của đường parabol là

$\left\{\begin{matrix}x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{(tan\alpha )(2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }{-2g}=\frac{v_{0}^{2}sin\alpha cos\alpha }{g}\\ y_{I}=f(x_{I})=(\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha })(\frac{v_{0}^{2}sin\alpha cos\alpha }{g})^{2}+(tan\alpha )\times \frac{v_{0}^{2}sin\alpha cos\alpha }{g}=\frac{v_{0}^{2}sin^{2}\alpha }{2g} \end{matrix}\right.$

=> Độ cao lớn nhất của vật là tung độ của đỉnh parabol là: $y_{max}=\frac{v_{0}^{2}sin^{2}\alpha }{2g}$

c) 

Theo phần b, độ cao lớn nhất $y_{max}=\frac{v_{0}^{2}sin^{2}\alpha }{2g}\leq \frac{v_{0}^{2}}{2g}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{v_{0}^{2}sin^{2}\alpha }{2g}=\frac{v_{0}^{2}}{2g} ⇔ sin^{2}\alpha   = 1 ⇔ \alpha  = 90°$

=> góc ném $\alpha  = 90°$  thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.

d) 

Ta có: $g = 9,8 m/s^{2}, v0 = 20, α = 45°$

Phương trình quỹ đạo của quả bóng là:

$y=(\frac{-9.8}{2 \times 20^{2}\times  cos^{2}45^{\circ}})x^{2}+(tan 45^{\circ})x=\frac{-9.8}{400}x^{2}+x$

Quả bóng ở độ cao trên 5 m nghĩa là

$y=-\frac{9.8}{400}x^{2}+x>5$

$⇔ 9,8x^{2} – 400x + 2000 < 0$

Xét tam thức $f(x) = 9,8x^{2} – 400x + 2 000 có:$

a = 9,8 > 0

$∆ = (–400)^{2} – 4 \times  9,8 \times  2 000 = 81 600 > 0$

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: x1 ≈ 34,98; x2 ≈ 5,83

=> $9,8x^{2}– 400x + 2 000 < 0 ⇔ 5,83 < x < 34,98$

=> Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng (5,83; 34,98) m