Ta có:

+) Khi m = 0, ta có:

$mx^{2} – (2m – 1)x + m + 1 < 0$

⇔ x + 1 < 0

⇔ x < –1

=> m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

+) Khi m ≠ 0, ta có:

Xét tam thức: $f(x) = mx^{2} – (2m – 1)x + m + 1$ có:

a = m,

$∆ = [–(2m – 1)^{2}] – 4.m.(m + 1) = 4m^{2} – 4m + 1 – 4m^{2} – 4m = –8m + 1$

Để $mx^{2} – (2m – 1)x + m + 1 < 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $mx^{2} – (2m – 1)x + m + 1 ≥ 0$ với mọi số thực x

<=> $\left\{\begin{matrix}a>0\\ \Delta \leq 0\end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}m>0\\ -8m+1\leq 0\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}m>0\\ m\geq \frac{1}{8} \end{matrix}\right.<=> m\geq \frac{1}{8}$

=> Khi $m\geq $ thì bất phương trình $mx^{2} – (2m – 1)x + m + 1 < 0$ vô nghiệm