Ta có:

a) Giả sử điểm C(x; 0) ta có $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ = (x - 2; -1)

Tam giác ABC vuông tại A

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} = 0$

$\Leftrightarrow$ 2(x - 2) - 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 2x = 6

$\Leftrightarrow$ x = 3

=> C(3; 0)

 AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{(4 - 2)^{2} + (3 - 1)^{2}} = 2\sqrt{2}$, AC = |$\overrightarrow{AC}$| = $\sqrt{(3 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{2}$, BC = |$\overrightarrow{BC}$| = $\sqrt{(3 - 4)^{2} + (0 - 3)^{2}} = \sqrt{10}$

Chu vi am giác ABC là:

$p = AB + AC + BC = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{10} = 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$

Diện tích tam giác ABC là: 

$S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2} . 2\sqrt{2} . \sqrt{2} = 2$

b) 

Giả sử điểm D(x; y) ta có $\overrightarrow{AD}$ = (x - 2; y - 1) và $\overrightarrow{AB}$ = (2; 2)

Để tam giác ABD vuông cân tại A thì: