Hình minh họa:

Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

=> D E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của H trên BC, CA, AB và M, N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O trên BC, CA, AB

Theo định lí chiếu:

$\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{NE} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{PF} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH} . (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OH} . \overrightarrow{OA}$

=> $\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{NE} . \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PE} . \overrightarrow{AB}= 0$