Hình minh họa:
a)
$\widehat{A} < 90^{o}$ => $\widehat{BAE} = 90^{o} + \widehat{A} = \widehat{CAD}$ (1)
M là trung điểm BC => $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ (2)
Theo quy tắc ba điểm ta có:
$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$
Từ (1) và (2) Ta có:
$2\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{DE} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) . (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD})$
$2\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD}$
$2\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD}$ (do AB $\perp$ AD, AC $\perp$ AE)
$2\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AE} . cos\widehat{BAE} - \overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} . cos\widehat{CAD} = 0$ (do AB = AD, AE = AC và (1))
=> AM $\perp$ DE
b)
Từ giả thuyết => $\widehat{DAE} = 3690^{o} - \widehat{DAB} - \widehat{BAC} - \widehat{CAE} = 180^{o} - \widehat{A}$ (3)
Theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$
=> $\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}) . (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC} . cos\widehat{BAC} + \overrightarrow{AE} . \overrightarrow{AD} . cos\widehat{DAE}$
$\overrightarrow{BE} . \overrightarrow{CD} = 0$ (do AB = AD, AC = AE và (3))
=> BE $\perp$ CD
Có $BE^{2} = \overrightarrow{BE}^{2} = (\overrightarrow{AE}^{2} - \overrightarrow{AB}^{2}) = AE^{2} - 2AE . AB . cos\widehat{BAE}$
$BE^{2} = AC^{2} + AD^{2} - 2AC. AD . cos\widehat{CAD} = (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB})^{2} = \overrightarrow{CD}^{2} = CD^{2}$
=> BE = CD
c)
M là trung điểm BC, N là trung điểm BD
=> MN là đường trung bình của tam giác BCD
=> MN // CD, MN = $\frac{1}{2}$CD (4)
Tương tự có MP là đường trung bình của tam giác BCE
=> MP // BE, MP = $\frac{1}{2}$BE (5)
Từ (4) và (5) và có BE = CD (chứng minh câu b)
=> MN = MP và MN $\perp$ MP
=> tam giác MNP vuông cân tại M
Bình luận