Vẽ hình:

Chứng minh:

a) 

Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ với |$\overrightarrow{b}$| = 1, |$\overrightarrow{d}$| = $\sqrt{2}$ và $\overrightarrow{b} . \overrightarrow{d} = 0$

=> $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$

M là trung điểm AD => $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}$

=> $\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{BM} = (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) . (\frac{1}{2}\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}) = -\overrightarrow{b}^{2} + \frac{1}{2}\overrightarrow{d}^{2} = -1 + \frac{1}{2}.2 = 0$

=> AC $\perp$ BM

b) 

Theo định lí Pytago ta có $AC^{2} =  AB^{2} + BC^{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 3$

=> AC = $\sqrt{3}$ và AH = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

=> $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ 

N là trung điểm AH nên $\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}[\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}] + \overrightarrow{b} = \frac{5}{6}\overrightarrow{b} - \frac{1}{6}\overrightarrow{d}$ (1)

P là trung điểm của CD và N là trung điểm HA nên ta có:

$\overrightarrow{ND} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{HC}) = \frac{1}{2}[\overrightarrow{d} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}] = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{5}{6}\overrightarrow{d}$ (2) 

Từ (1) và (2) => $\overrightarrow{NB} . \overrightarrow{ND} = (\frac{5}{6}\overrightarrow{b} - \frac{1}{6}\overrightarrow{d}) . (\frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{5}{6}\overrightarrow{d}) = 0$

=> NB $\perp$ NP nên tam giác NBP vuông tại N