Vẽ hình:

Chứng minh:

a) 

H là trực tâm của tam giác ABC => BH $\perp$ CA, CH $\perp$ AB. (1)

Kẻ đường kính AA' của đường tròn ngoại tiếp (O). Khi đó O là trung điểm của AA'

Có $\widehat{A'CA} = 90^{o} = \widehat{A'BA}$ 

=> A'C $\perp$ CA, A'B $\perp$ AB

Kết hợp với (1) => a A'C // BH, A'B // CH 

=> tứ giác BHCA' là hình bình hành 

Có M là trung điểm BC => M là trung điểm của A'H

Xét tam giác AHA' có O là trung điểm của AA', M là trung điểm của A'H suy ra OM là đường trung bình 

=> AH // OM và AH = 2OM

=>$\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}$

b) 

M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AH}$

=> $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +  \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH}$ (2)

c) 

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +  \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$

Kết hợp với (2) => $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$ 

=> hai vectơ $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{OG}$ cùng phương

Hay ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng