Hình minh họa:

Ta có:

Có D, E lần lượt là trung điểm của BC, CA

$\overrightarrow{DE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (1)

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$ (2)

Theo quy tắc ba điểm: 

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}$ (3)

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD} - 2\overrightarrow{AD}$ (4)

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AD} -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (5)

Từ (1) và (3) suy ra:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BE}$

$=> \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

Từ (3) và (4) Ta có:

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD} - 2(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}- \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$

Từ (4) và (5) ta có:

$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AD} - (\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}) = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$