a) 

Vẽ hình:

Theo quy tắc hình bình hành có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$ với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB dựng trên hai cạnh OA và OB

Do tam giác OAB vuông cân tại O => OACB là hình bình hành vuông

$=>|\overrightarrow{OC}| = OC = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = a\sqrt{2}$

b) 

Theo quy tắc ba điểm ta có: 

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$

Tam giác OAB vuông cân tại O => $|\overrightarrow{BA}| = AB = a\sqrt{2}$

c) 

Lấy điểm D đối xứng với O qua B. Khi đó $\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OB}$

Theo quy tắc hình bình hành:

$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OE}$ 

với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành OAED dựng trên hai cạnh OA, OD 

Tam giác OAB vuông cân tại O nên OAED là hình chữ nhật với OA = a, OD =2a

=> |$\overrightarrow{OE}$| = OE = $\sqrt{OA^{2} + OD^{2}} = a\sqrt{5}$

d)

Lấy F đối xứng B qua D và G đối xứng O qua A 

Khi đó $\overrightarrow{OG} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OF} = 3\overrightarrow{OB}$

=>  $2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{FG}$ (1)

Dựng các điềm F, G và có tam giác OFG vuông tại O nên OG = 2OA = 2a, OF = 3OB = 3a

=>|$2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB}$| = |$\overrightarrow{FG}$| = FG = $\sqrt{OF^{2} + OG^{2}} = a\sqrt{13}$