a) Gọi độ dài ba cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c (a > 0, b > 0, c > 0) và tổng ba kích thước không đổi của hình hộp chữ nhật là k.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a,b, c ta có $\frac{a + b + c}{3}$ $\geq $ $\sqrt[3]{abc}$ hay $(\frac{k}{3})^{3}$ $\geq $ abc

Thể tích hình hộp chữ nhật lớn nhất bằng $(\frac{k}{3})^{3}$, đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

b) Gọi độ dài ba cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c (a > 0, b > 0, c>0) và thể tích không đổi của hình hộp chữ nhật là m.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a,b,c ta có $\frac{a + b + c}{3}$ $\geq $ $\sqrt[3]{abc}$ hay a + b + c  $\geq $ 3$\sqrt[3]{m}$

Tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật nhỏ nhất bằng 3$\sqrt[3]{m}$ , đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước nhỏ nhất.