Giả sử $\sqrt{2}$ không thể là trung bình cộng của số $\sqrt{3}$ và $\sqrt{5}$ tức là:

$\sqrt{2}$ = $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ $\Leftrightarrow $ $\sqrt{3}$ + $\sqrt{5}$ = 2$\sqrt{2}$

Ta có:

$(2\sqrt{2})^{2}$ = 8

$(\sqrt{3}$ + $\sqrt{5})^{2}$ = 3 + 5 + 2.$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$ = 8 + 2.$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$ > 8

Suy ra $\sqrt{3}$ + $\sqrt{5}$ - 2$\sqrt{2}$ $\neq $ 0 hay $\sqrt{2}$ không phải là trung bình cộng của số $\sqrt{3}$ và $\sqrt{5}$.