a) Với a > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a + $\frac{1}{a}$ $\geq $ 2.$\sqrt{a.\frac{1}{a}}$ = 2  

Dấu = xảy ra khi a = $\frac{1}{a}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ = 1 $\Leftrightarrow $ a = 1 (vì a > 0)

b) Ta có:

$\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ = $\frac{a^{2} + a + 1 + 1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ = $\sqrt{a^{2} + a + 1}$ +  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ 

Ta có: $a^{2}$ + a + 1 = (a + $\frac{}{}$ $(a + \frac{1}{4})^{2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\sqrt{a^{2} + a + 1}$ +  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2.$\sqrt{\sqrt{a^{2} + a + 1}.\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}}$ = 2

Dấu = xảy ra khi $\sqrt{a^{2} + a + 1}$ =  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a + 1 = 1 $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a = 0 $\Leftrightarrow $ a = 0 hoặc a = - 1 

Vậy $\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2 với mọi a.

c) Chứng minh $\sqrt{a + 1}$ - $\sqrt{a}$ <  $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ tức là ta chứng minh $\sqrt{a + 1}$ < $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ + $\sqrt{a}$

Với a $\geq $ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{a}}$ + $\sqrt{a}$ $\geq $.