a) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của các đường trung trực tương ứng với các cạnh AB và AC. 

Ta có: MD vuông góc với AB và ND vuông góc với AC => AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có 2 góc đối bằng 90 độ)

=> AN = MD và AM = ND (1)

mà AN = NC; AM = MB (M, N lần lượt là trung điểm của Ab và AC) (2)

Từ (1) và (2)=>  NC = MD và MB = ND

Xét tam giác BMD và tam giác DNC, ta có:

+ MB = ND (cmt)

+ góc BMD = góc DNC ( = 90 độ)

+ MD = NC

Suy ra: tam giác BMD = tam giác DNC (c.g.c)

=> BD = DC => D là trung điểm của BC. (đpcm)

b) Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (câu a) => Góc MAN = 90 độ. (*)

Trong tam giác vuông DNC có: góc NDC + góc NCD = 90 độ (vuông tại N) (3)

mà góc MBD = góc NCD (góc tương ứng của 2 tam giác bằng nhau) (4)

Từ (3), (4) => góc MBD + góc NCD = 90 độ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: góc MBD + góc NCD = góc MAN

hay: Số đo góc A bằng tổng số đo góc B và góc C. (đpcm)