Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm với tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \(I\) của nó phải cách đều hai trục tọa độ. 

=> $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) \Leftrightarrow \frac{|b|}{\sqrt{1}}=\frac{|a|}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow |a|=|b|$

=> $a=b$ hoặc $a=-b$  

•  Trường hợp $a=b$ => Tọa độ $I(a;a)$

Vì $I(a;a)$ nằm trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0\) nên thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

          $4.a-2.a-8=0 \Leftrightarrow 2a=8 \Leftrightarrow a=4$

=> $I(4;4)$ và bán kính $R=4$

=> phương trình đường tròn cần tìm: $(x-4)^2+(y-4)^2=16\,\ (C_1)$

• Trường hợp $a=-b$ => Tọa độ $I(a;-a)$

Vì $I(a;-a)$ nằm trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0\) nên thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

     $4.a+2.a-8=0 \Leftrightarrow 6a=8 \Leftrightarrow a=\frac{4}{3}$

=> $I(\frac{4}{3};\frac{-4}{3})$ và bán kính $R=\frac{4}{3}$

=> phương trình đường tròn cần tìm: $(x-\frac{4}{3})^2+(y+\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}\,\ (C_2)$