Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm với tâm $I(a;b)$, bán kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \(I\) của nó phải cách đều hai trục tọa độ. 

=> $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) \Leftrightarrow \frac{|b|}{\sqrt{1}}=\frac{|a|}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow |a|=|b|$

=> $a=b$ hoặc $a=-b$  (1)

Vì $(C)$ tiếp xúc 2 trục tọa độ nên $(C)$ nằm trong 1 trong 4 góc phần tư. Vì $(C)$ đi qua $M(2;1)$ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $(C)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất.

=> Tọa độ tâm $I$ dương tức là: $a>0,b>0$ kết hợp (1)

=> $a=b$

Thay vào phương trình đường tròn (C) ta có: $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$

mà $M(2;1)$ thuộc $(C)$ nên thay tọa độ $M$ vào phương trình $(C)$ ta có: $(2-a)^2+(1-a)^2=a^2$

$\Leftrightarrow 4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2 \Leftrightarrow a^2-6a+5=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{a= \hfill 1 \cr a= \hfill 5 \cr} \right.$

Phương trình đường tròn cần tìm là: $(x-1)^2+(y-1)^2=1\,\ (C_1)$

                                                          $(x-5)^2+(y-5)^2=25\,\ (C_2)$