a) Ta tìm bán kính.

    Vì đường tròn $(C)$ đi qua điểm $M$ nên $R=IM$

    => \({R^2} = {\rm{ }}I{M^2} \Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }} = {\rm{ }}52\)

    =>  Phương trình đường tròn \((C)\) có tâm $I$, đi qua $M$ là:

     \({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\)

b) Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng \(d\) nên khoảng cách từ tâm \(I\) tới đường thẳng \(d\) bằng bán kính đường tròn hay: 

  \(d(I; d) = R\)

    Ta có: $d: x – 2y + 7 = 0\,\ I(-1;2)$

     => khoảng cách từ $I$ đến $d$ là: $d(I;d)=\frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

     => \( R = d(I, d) = \frac{2}{\sqrt{5}}\) 

     Phương trình đường tròn cần tìm là:

     \({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\)  

     \( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}\)

c)   Đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$ => tâm đường tròn $(C)$ là trung điểm của $AB$.

     => Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ:

    $\left\{\begin{matrix} x &= \frac{1+7}{2}=4\\ y &= \frac{1+5}{2}=3 \end{matrix}\right.$

     suy ra \(I(4; 3)\)

      Ta có: \(AB = 2\sqrt {13}\) suy ra \( R = \sqrt {13}\)   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

\({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\)