Ta có:

Elip  $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ có $a^{2} = 25, b^{2} = 9, c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=4$ nên hai tiêu điểm là F1(–4; 0), F2(4; 0).

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O đường kính $F1F2 = 2\times 4 = 8$ nên bán kính là R = 4.

Phương trình đường tròn (C) là:

$x^{2} + y^{2} = 4^{2}$ hay $x^{2} + y^{2} = 16.$

Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=16\\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix}y^{2}=16-x^{2}\\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{16-x^{2}}{9}=1\end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix}y^{2}=16-x^{2}\\ 9x^{2}+400-25x^{2}=225\end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix}y^{2}=16-\frac{175}{16}\\ x^{2}=\frac{175}{16}\end{matrix}\right.$

$<=>\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{matrix}\right.$

=> Có bốn điểm M thoả mãn là $M(\pm \frac{5\sqrt{7}}{4};\pm \frac{9}{4})$