Ta có:

a) 

Ta có $\overrightarrow{AB}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ $\overrightarrow{u}=(1;3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận $\overrightarrow{u}=(1;3)$  là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{matrix}x=1+t\\ y=-1+3t\end{matrix}\right.$

b) 

Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{BC}=(−5;−1)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{BC}=(5;1)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

$5(x – 1) + 1(y + 1) = 0$

⇔ $5x – 5 + y + 1 = 0$

⇔ $5x + y – 4 = 0$

c) 

Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=(−5;−1)$ là một vectơ chỉ phương nên BC nhận $\overrightarrow{n'}=(1;−5)$ là một vectơ pháp tuyến.

=> Phương trình đường thẳng BC là:

$1(x – 3) – 5(y – 5) = 0$

⇔ $x – 3 – 5y + 25 = 0$

⇔ $x – 5y + 22 = 0$

Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là:

$d(A,BC)=\frac{|1-5\times (-1)+22|}{\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$

d) 

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là:

$\overrightarrow{AB}=(2;6),\overrightarrow{AC}=(−3;5).$

Khi đó

$cosα=∣cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}|=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|\times |\overrightarrow{AC}|}=\frac{|2\times (-3)+6\times 5|}{\sqrt{2^{2}+6^{2}}\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{85}}$

Do α là góc giữa hai đường thẳng => sinα > 0.

Lại có $sin^{2}α + cos^{2}α = 1.$

$⇒sinα=\sqrt{1-cos^{2}α}=\frac{7}{\sqrt{85}}$