HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 1.

+ Nêu lại các khái niệm vectơ và khái niệm liên quan đã học.

- GV giới thiệu: tương tự như trong mặt phẳng, ta có khái niệm vectơ trong không gian.

+ HS phát biểu: Thế nào là vectơ trong không gian?

- GV giới thiệu cách gọi tên vectơ và kí hiệu.

+ Giới thiệu về các khái niệm liên quan đến vectơ.

- HS đọc và trình bày Ví dụ 1.

- HS vẽ hình, thực hiện Luyện tập 1.

- GV đặt câu hỏi:

Cho điểm  và vectơ , xác định được bao nhiêu điểm M sao cho  Giải thích?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Khái niệm vectơ và các khái niệm cơ bản của vectơ.

I. Khái niệm vectơ trong không gian

HĐ 1:

a)

- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng nối giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ kí hiệu là .

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là .

c)

- Hai vectơ ,  bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu:
    .

- Hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

Định nghĩa:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

- Cho đoạn thẳng  trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là  thì ta có một vectơ, kí hiệu là

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là , , , , …

Kết luận:

Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Ví dụ 1 (SGK -tr.57)

Luyện tập 1

a) , , .

b) , , .

Chú ý: Cho điểm  và vectơ . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm  trong không gian sao cho .

Để xác định điểm  ta làm như sau (Hình 3)

- Qua  kẻ đường thẳng  song song hoặc trùng với giá của vectơ .

- Lấy điểm  trên đường thẳng  sao cho hai vectơ  và  là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng  bằng độ dài vectơ .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thảo luận nhóm đôi hoàn thành HĐ 2 vào phiếu học tập.

- GV giới thiệu về tổng của hai vectơ  và tương tự như khái niệm trong mặt phẳng.

- GV nêu một số chú ý.
+ HS nhắc lại tính chất phép cộng vectơ trong mặt phẳng; quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành.

- GV chiếu lại các quy tắc.

+ Chú ý: về điểm đầu và điểm cuối của các vectơ để sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành hợp lí.

- HS đọc, hiểu và trình bày Ví dụ 2.

+ Nêu các quy tắc đã sử dụng.

- HS thực hiện Luyện tập 2, GV gợi ý:

+ Áp dụng quy tắc ba điểm có thể viết

, .

- HS làm HĐ 3 trong phiếu học tập. Gợi ý:

+ Áp dụng quy tắc hình bình hành.

- GV giới thiệu quy tắc hình hộp.

+ Chú ý khi dùng quy tắc thì các vectơ chung điểm đầu và phải là các cạnh của hình bình hành.

- HS đọc, hiểu, trình bày Ví dụ 3.

+ Tìm các vectơ bằng nhau để đưa vế trái về tổng của các vectơ chung điểm đầu.

- HS suy nghĩ, trao đổi nhóm đôi làm Luyện tập 3.

- HS thảo luận làm HĐ 4 trong phiếu học tập.

- Từ kết quả HĐ 4, giới thiệu về hiệu của hai vectơ.

+ Nhấn mạnh: thực chất hiệu của hai vectơ chính là tổng của vectơ cộng với số đối của vectơ kia.

- GV hướng dẫn HS đọc hiểu Ví dụ 4.

+ Viết hiệu

Nhấn mạnh: Muốn thực hiện phép cộng vectơ thì ta nên chọn cặp vectơ sao cho hợp lí để dùng quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành.

- HS làm Luyện tập 4.

Đổi từ hiệu hai vectơ sang tổng hai vectơ sao cho hợp lí.

- GV cho HS nhắc lại quy tắc hiệu của hai vectơ đã học lớp 10. Từ đó có quy tắc hiệu hai vectơ trong không gian.

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu tích của một số với một vectơ trong không gian.

- HS thực hiện HĐ 5 vào phiếu học tập.

- GV cho HS phát biểu định nghĩa tích của một số với một vectơ trong không gian.

+ Giới thiệu một số quy ước.

- GV cho HS nhắc lại các tính chất của tích một số với một vectơ đã học ở lớp dưới.

- HS quan sát, tìm hiểu Ví dụ 5.

+ Để chỉ ra  ta phải chứng minh những điều gì?
+b) Để chứng minh sử dụng tính chất nào của trọng tâm tam giác?

- HS thực hiện Luyện tập 5. GV gợi ý

+ a) Cách 1: viết tổng

Cách 2: Viết

+ b) Viết  theo  

Nhiệm vụ 3: Tìm hiểu tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

- HS thực hiện HĐ 6 vào phiếu học tập.

- GV cho HS phát biểu về góc giữa hai vectơ trong không gian.

+ Nhấn mạnh: Để xác định góc ta đưa về góc giữa hai vectơ chung gốc.

+ Đặt câu hỏi: Số đo góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng giá trị nào?
- HS quan sát Ví dụ 6, nêu cách xác định góc giữa hai vectơ

- HS làm Luyện tập 6.

- HS thực hiện HĐ 7 trong phiếu học tập.

- HS khái quát khái niệm tích vô hướng của hai vectơ.

- GV cho HS nhắc lại và dẫn đến các quy ước, tính chất của tích vô hướng.

+ Nhấn mạnh: để tính cos góc giữa hai vectơ có thể dùng tích vô hướng trên tích độ dài.

- GV hướng dẫn, giảng giải HS làm Ví dụ 7.

+ Khó khăn khi ta xác định trực tiếp góc giữa vectơ .

+ Để tính góc ta tìm tích vô hướng và tích độ dài của hai vectơ .

+ Để tính tích vô hướng  

Ta đưa về các vectơ đã biết độ dài và biết góc giữa chúng là: .

- HS thực hiện Luyện tập 7.

+ Có thể xác định góc giữa ,  trực tiếp được không?

Từ đó xác định cách tính.

- HS quan sát, đọc, trao đổi thảo luận Ví dụ 8; GV giảng giải.

+ Để xác định trọng lượng của chiếc đèn chugs ta xác định tổng hợp của ba lực

+ Biểu diễn các vectơ lực thông qua các vectơ

+ Tổng hợp

Bằng cách sử dụng quy tắc hình hộp.

+ Tính độ dài vectơ tổng là vectơ  

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở:

+ Các phép toán tổng, hiệu của hai vectơ

+ Tích của một số với một vectơ.

+ Tích vô hướng của hai vectơ.

II. Các phép toán vectơ trong không gian

1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

HĐ 2:

a) Vẽ , .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ .

Kết luận:

Trong không gian, cho hai vectơ , . Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ , . Vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và , kí hiệu là .

Chú ý:

- Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

- Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng (chẳng hạn: tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ-không).

- Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Kết luận:

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

- Với ba điểm , ,  trong không gian, ta có:

 (Quy tắc ba điểm).

- Nếu  là hình bình hành thì  (Quy tắc hình bình hành).

Ví dụ 2 (SGK -Tr.58)

Luyện tập 2

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

, .

Do đó:

HĐ 3:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

, .

Þ

Û .

Kết luận:

Nếu  là hình hộp thì:

 (Quy tắc hình hộp).

Ví dụ 3 (SGK -tr.59)

Luyện tập 3 (Hình 6)

Ta có:

Do đó:

                            .

HĐ 4:

a) Vẽ , , .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ .

Kết luận:

Trong không gian, cho hai vectơ , . Hiệu của vectơ  và vectơ là tổng của vectơ  và vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ 4 (SGK -tr.59)

Luyện tập 4 (Hình 8)

Ta có:

                                 .

Kết luận:

Với ba điểm , ,  trong không gian, ta có:

 (Quy tắc hiệu).

2. Tích của một số với một vectơ trong không gian

HĐ 5:

Cho số thực    0 và vectơ     . Tích của số  với vectơ  là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ  nếu  0, ngược hướng với vectơ  nếu  0.

- Có độ dài bằng .

Định nghĩa:

Cho số thực    0 và vectơ     . Tích của số  với vectơ  là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ  nếu  0, ngược hướng với vectơ  nếu  0.

- Có độ dài bằng .

Quy ước:

0 , . Do đó  khi và chỉ khi  hoặc .

Chú ý:

- Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

- Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với hai vectơ bất kì ,  và hai số thực ,  ta có:

+ ( )   ; ( )   ;

+ ( ) ;

+ ( )  ( ) ;

+ 1 ; ( 1) .

Ví dụ 5 (SGK -tr.60)

Luyện tập 5

a)  

.

Þ .

b) Ta có:

Tương tự:

Þ

                                     ( là trung điểm ).

3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

HĐ 6:

Định nghĩa:

Trong không gian, cho hai vectơ ,  khác vectơ . Lấy một điểm  tuỳ ý và vẽ hai vectơ , . Góc giữa hai vectơ ,  trong không gian, kí hiệu ( , ), là góc giữa hai vectơ , .

Chú ý: .

Ví dụ 6 (SGK -tr.61)

Luyện tập 6

Ta có  

Þ ( , ) = ( , ) =

                                          (  đều).

HĐ 7:

a) ( , )  ( , )   .

b)

  .  . cos( , )

Định nghĩa:

Trong không gian, cho hai vectơ ,  khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu  . , là một số thực được xác định bởi công thức:  . .  . cos( , ), ở đó ( , ) là góc giữa hai vectơ , .

Quy ước: Tích vô hướng của hai vectơ bất kì với vectơ  bằng 0.

Chú ý:

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với các vectơ bất kì , ,  và số thực tuỳ ý, ta có:

+  .  .  (tính chất giao hoán);

+  . ( )  .  .  (tính chất phân phối);

+ ( ) . (  . )  . ( );

+ , .

- Nếu ,  là hai vectơ khác vectơ  thì
cos( , ) .

Ví dụ 7 (SGK -tr.62)

Luyện tập 7

   . .  . cos( , )

 .  . cos( , )

 .  . cos

 .  . cos  

                      =  .  . .

 . (  . )

 . .  . cos( , )

 .  . cos( , )

 .  . cos

 .  . cos  

                  =  .  . .

Þ  . .

Ví dụ 8 (SGK -tr.63)

PHIẾU HỌC TẬP

Câu 1 (HĐ 2 – SGK.tr.58)

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm  tuỳ ý.
a) Vẽ .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ nào trong Hình 4.

………………………………………………………………………………………..

Câu 2 (HĐ 3- SGK -tr.58)

Cho hình hộp  (Hình 6).

Tìm liên hệ giữa:  và  và .

………………………………………………………

……………………………………………………
Từ đó, hãy suy ra rằng

……………………………………………………

……………………………………………………

Câu 3 (HĐ 4- SGK -tr.59)

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm  tuỳ ý.
a) Vẽ .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ nào trong Hình 7?

………………………………………………………………………………………..
Câu 4 (HĐ 5- SGK -tr.60)

Nêu định nghĩa tích của một số thực  và vectơ  trong mặt phẳng.
………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..

Câu 5 (HĐ 6- SGK -tr.61)

Trong không gian, cho hai vectơ  khác .

Lấy một điểm  tuỳ ý.
a) Vẽ hai vectơ .

b) Khi đó, hai vectơ  có giá nằm trong cùng mặt phẳng  (Hình 10). Nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ  trong mặt phẳng .

………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..

Câu 6 (HĐ 7- SGK -tr.61)

Trong không gian, cho hình lập phương  có độ dài cạnh bằng  (Hình 12).
a) Tính góc giữa hai vectơ .
b) Tính .

………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………...