, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
- MỤC TIÊU:
- Kiến thức:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết được tọa độ của một vectơ đối với hệ trục tọa độ.
- Vận dụng được tọa độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
- Năng lực
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng: tư duy và lập luận toán học, giao tiếp toán học; mô hình hóa toán học; giải quyết vấn đề toán học.
- Tư duy và lập luận toán học: Lập luận, phân tích, so sánh để xác định được tọa độ của một vectơ trong không gian.
- Mô hình hóa toán học: Xác định được tọa độ của một vectơ trên hệ trục tọa độ.
- Giải quyết vấn đề toán học: Vận dụng các phép tính của vectơ để tìm tọa độ của một vectơ bất kì trong không gian.
- Giao tiếp toán học: Đọc hiểu thông tin toán học từ hệ trục tọa độ.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
- Phẩm chất
- Tích cực thực hiện nhiệm vụ khám phá, thực hành, vận dụng.
- Có tinh thần trách nhiệm trong việc thực hiện nhiệm vụ được giao.
- Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và nhóm bạn.
- Tự tin trong việc tính toán; giải quyết bài tập chính xác.
- THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1 - GV: SGK, SGV, Tài liệu giảng dạy, giáo án PPT, PBT (ghi đề bài cho các hoạt động trên lớp), các hình ảnh liên quan đến nội dung bài học,...
2 - HS:
- SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
- HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
- a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
- b) Nội dung: HS đọc bài toán mở đầu và thực hiện bài toán dưới sự dẫn dắt của GV (HS chưa cần giải bài toán ngay).
- c) Sản phẩm: HS nhận biết được các thông tin trong bài toán và dự đoán câu trả lời cho câu hỏi mở đầu theo ý kiến cá nhân.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV chiếu Slide dẫn dắt và yêu cầu HS thảo luận và nêu dự đoán về câu hỏi mở đầu (chưa cần HS giải):
Trong kiểm soát không lưu, người ta dùng bộ ba số để xác định vị trí của máy bay. Người ta đã làm điều đó như thế nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm và thực hiện yêu cầu theo dẫn dắt của GV.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi đại diện một số thành viên nhóm HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV ghi nhận câu trả lời của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào tìm hiểu bài học mới: “Để biểu diễn tọa độ của một điểm hay một vectơ trong không gian, ta sẽ làm thế nào? Bài học ngày hôm nay sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó”.
Tọa độ của vectơ trong không gian.
- HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Hệ tọa độ trong không gian
- a) Mục tiêu:
- HS nhận biết được hệ trục tọa độ trong không gian.
- b) Nội dung:
- HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐKP1; Thực hành 1; Vận dụng 1 và các Ví dụ.
- c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết được hệ trục tọa độ trong không gian.
- d) Tổ chức thực hiện:
|
HĐ CỦA GV VÀ HS |
SẢN PHẨM DỰ KIẾN |
|
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: NV1: Tìm hiểu về hệ trục tọa độ trong không gian - GV yêu cầu HS thực hiện hoạt động khám phá 1 và hoàn thành các yêu cầu sau: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Đặt . a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ . b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ . - GV mời 2 HS đứng tại chỗ trình bày bài. - GV nhận xét từ đó rút ra kết luận về hệ tọa độ trong không gian.
- GV đặt câu hỏi gợi mở và đưa ra nhận xét cho HS: + Điểm O được gọi là gì? Các trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ của hệ trục tọa độ này là gì? + Tính và tích vô hướng của hai trong ba vectơ trên.
- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi tìm hiểu Ví dụ 1.
- GV yêu cầu HS hoàn thành yêu cầu của thực hành 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1. Vẽ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
- GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình và trình bày bài. - GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành yêu cầu của Vận dụng 1. Một thiết kế cơ khí được biểu diễn trong không gian như hình bên. a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên ba trục tọa độ (mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1m).
b) Biểu diễn các vectơ , , , theo .
+ Điểm C nằm trên trục nào và bằng bao nhiêu lần độ dài vectơ đơn vị? + GV yêu cầu HS nhắc lại quy tắc hình bình hành? Từ đó biểu diễn trong mặt phẳng . + Tương tự, biểu diễn . + Có thể biểu diễn qua hai vectơ và không? - GV mời 2 bạn HS đứng tại chỗ trình bày bài, GV nhận xét chốt đáp án. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: - HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở. Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét. - GV: quan sát và trợ giúp HS. Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức. Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm |
1. Hệ tọa độ trong không gian
HĐKP1
a) Ba vectơ có phương đôi một vuông góc với nhau và độ dài ba vectơ đều bằng 1. b) Ba trục tọa độ đôi một vuông góc với nhau. Hệ tọa độ trong không gian Trong không gian, cho ba trục đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục . Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ . Nhận xét: a) Điểm được gọi là gốc tọa độ. Các trục được gọi là các trục tọa độ. Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ còn được gọi là không gian . b) Vì là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có: và . Ví dụ 1 (SGK – tr.53) Cho tứ diện có đôi một vuông góc và có độ dài bằng 1. Vẽ hệ trục tọa độ có gốc là , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
Hướng dẫn giải (SGK – tr.53) Thực hành 1:
Vận dụng 1 a)
b) Ta có: và Vậy . +) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
+) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
+) Ta có:
|
Hoạt động 2: Tọa độ của điểm và vectơ
- a) Mục tiêu:
- Nhận biết được tọa độ của một vectơ đối với hệ trục tọa độ.
- Vận dụng được tọa độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
- b) Nội dung:
- HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện HĐKP2, 3; Thực hành 2, 3; Vận dụng 2 và các Ví dụ.
- c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi, HS nhận biết được tọa độ của vectơ đối với trục tọa độ.
- d) Tổ chức thực hiện:
|
HĐ CỦA GV VÀ HS |
SẢN PHẨM DỰ KIẾN |
|
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: NV1: Tìm hiểu tọa độ của điểm - GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐKP2. Cho hình hộp chữ nhật có cạnh . Vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên các cạnh . Biểu diễn theo ba vectơ . Gợi ý: + GV yêu cầu HS nhắc lại về quy tắc hình hộp đã học trong bài “Vectơ trong không gian”. Từ đó áp dụng để biểu diễn . - GV mời 1HS lên bảng trình bày bài. - GV nhận xét bài và đưa ra kết luận: “Người ta chứng minh được rằng trong không gian , ứng với mỗi điểm tùy ý, có một bộ ba số duy nhất sao cho . Ngược lại, với bộ ba số , ta có một điểm duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức . - Từ kết luận trên, GV đặt câu hỏi: “Tọa độ của một điểm trong không gian là gì?”, rút ra định nghĩa về tọa độ của điểm trong không gian.
- GV cho HS đọc và tìm hiểu Ví dụ 2. - GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài giải. - HS dưới lớp nhận xét.
- GV yêu cầu HS hoàn thành Thực hành 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ trùng với ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Xác định tọa độ các điểm .
- GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày bài giải. - HS dưới lớp nhận xét.
NV2: Tìm hiểu tọa độ của vectơ - GV cho HS thực hiện thảo luận nhóm đôi thực hiện HĐKP3. Trong không gian , cho vectơ . Vẽ điểm sao cho . Gọi ) là tọa độ của điểm . Hãy biểu diễn theo ba vectơ đơn vị . + GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa tọa độ điểm trong không gian tạo cơ sở để tìm tọa độ vectơ . - GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài giải. - GV nhận xét và kết luận: “Trong không gian , ứng với một vectơ tùy ý có một bộ ba số ) duy nhất sao cho .” - GV đặt câu hỏi “Tọa độ của một vectơ trong không gian được định nghĩa là gì?” Từ đó HS rút ra kết luận về định nghĩa của vectơ.
- GV đặt câu hỏi mở rộng, rút ra nhận xét. + Nếu điểm thì tọa độ của vectơ là gì? + Cho . Khi nào thì hai vectơ này bằng nhau?
- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm, tìm hiểu Ví dụ 3. + Biểu diễn vectơ theo các vectơ dựa vào quy tắc hình bình hành. + là trung điểm thì là đường gì? Áp dụng quy tắc hình bình hành để biểu diễn .
- GV cho HS hoàn thành yêu cầu của Thực hành 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3.
a) Vẽ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ. b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ và với là trung điểm của cạnh .
- GV chỉ định 2 HS lên bảng trình bày bài giải. - HS ở dưới nhận xét, GV chốt đáp án. - GV triển khai Vận dụng 2, cho HS thảo luận nhóm hoàn thành yêu cầu sau: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ được thiết lập như Hình 12, cho biết là vị trí của máy bay, . Tìm tọa độ điểm . - GV hướng dẫn HS theo các bước sau: + Biểu diễn vectơ . Cần tìm a, b, c? + Để tìm được a,b,c ta áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: - HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở. - HĐ cặp đôi: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án. Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét. - GV: quan sát và trợ giúp HS. Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức. Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm |
2. Tọa độ của điểm và vectơ Tọa độ của điểm HĐKP2
Ta có:
Định nghĩa Trong không gian , cho điểm . Nếu thì ta gọi bộ ba số là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ và viết hoặc ; là hoành độ, là tung độ, là cao độ của điểm .
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật có cạnh . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Xác định tọa độ các điểm .
Hướng dẫn giải (SGK – Tr.54) Thực hành 2
Ta có: , suy ra . , suy ra . , suy ra . Tọa độ của vectơ HĐKP3
Ta có:
Mà Suy ra .
Định nghĩa Trong không gian , cho vectơ . Nếu thì ta gọi bộ ba số là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ và viết hoặc . Nhận xét: Trong không gian , ta có: · Tọa độ của điểm là tọa độ của vectơ , tức là . · Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: Cho . Khi đó: Ví dụ 3 (SGK – tr.55) Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh trùng với gốc , các vectơ theo thứ tự cùng hướng với và có . Tìm tọa độ các vectơ và với là trung điểm của cạnh .
Hướng dẫn giải (SGK – tr.11) Thực hành 3 a)
b) Ta có: , suy ra . , suy ra . , suy ra . Vì là trung điểm
Vậy .
Vận dụng 2.
Xét có:
Xét có:
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
Suy ra, |
- HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
- a) Mục tiêu:Học sinh củng cố lại kiến thức đã họcthông qua một số bài tập.
- b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1; 2; 3; 4 (SGK – tr.56-57), HS trả lời các câu hỏi trắc nghiệm.
- c) Sản phẩm học tập: Câu trả lờicủa HS về vận dụng định nghĩa tọa độ điểm và vectơ.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV cho HS làm câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1. Trong không gian có hãy biểu diễn theo các vectơ .
|
A. . |
C. . |
|
B. . . |
D. . |
Câu 2. Trong không gian có . Tọa độ của điểm là:
|
A. . |
B. . |
C. . |
D. . |
Câu 3. Cho hình lập phương có độ dài một cạnh bằng 3 có gốc tọa độ trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các trục . Xác định tọa độ điểm .
|
A. . |
B. . |
C. . |
D. . |
Câu 4. Cho hình tứ diện đôi một vuông góc với nhau, có . Gọi là trung điểm là trung điểm . Tính tọa độ vectơ , biết điểm trùng với gốc tọa độ, các điểm lần lượt nằm trên các trục .
|
A. . |
B. . |
C. . |
D. . |
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông tâm cạnh 2, vuông góc với đáy, . Biết gốc tọa độ trùng với điểm và các điểm lần lượt nằm trên các trục . Tính tọa độ với là trung điểm .
|
A. . |
B. . |
|
C. . |
D. . |
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét bài trên bảng.
Kết quả:
Bài 1.
- a) , suy ra .
, suy ra .
- b) , suy ra .
, suy ra .
Bài 2.
- a) , suy ra .
, suy ra .
- b) , suy ra .
, suy ra .
Bài 3.
- a) Chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và tia song song với .
- b) Ta có : trùng với gốc tọa độ, suy ra .
, suy ra .
, suy ra .
, suy ra .
Bài 4.
Ta có:
, suy ra .
, suy ra .
, suy ra .
, suy ra .
|
Câu 1 |
Câu 2 |
Câu 3 |
Câu 4 |
Câu 5 |
|
A |
B |
A |
C |
D |
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
- GV chú ý cho HS các lỗi sai hay mắc phải khi thực hiện giải bài tập.
- HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
- a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng thực tế để nắm vững kiến thức.
- HS thấy sự gần gũi toán học trong cuộc sống, vận dụng kiến thức vào thực tế, rèn luyện tư duy toán học qua việc giải quyết vấn đề toán học
- b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức để trao đổi và thảo luận hoàn thành các bài toán theo yêu cầu của GV.
- c) Sản phẩm: HS hoàn thành các bài tập được giao.
- d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 5; 6; 7 (SGK – tr.57).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV mời đại diện một vài HS trình bày miệng.
Kết quả:
Bài 5.
Kẻ là trung điểm .
Có : .
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
Mà .
+ Lại có : suy ra .
+ Xét có là đường trung bình
, suy ra .
Gọi là trung điểm
, suy ra .
Bài 6.
Xét có:
.
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
, suy ra
Gọi là điểm đối xứng với qua , và .
Khi đó, , suy ra .
Bài 7.
Xét vuông tại có:
.
Xét vuông tại có:
.
Ta có : ,
Suy ra : .
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá khả năng vận dụng làm bài tập, chuẩn kiến thức và lưu ý thái độ tích cực khi tham gia hoạt động và lưu ý lại một lần nữa các lỗi sai hay mắc phải cho lớp.
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Ghi nhớ kiến thức trong bài.
- Hoàn thành bài tập trong SBT.
- Chuẩn bị bài sau “Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ”.
Bình luận