CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Trong hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 7. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC

01

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

q  HĐ1: Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục có chung gốc  và đôi một vuông góc với nhau. Gọi  là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).

a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.

b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Trả lời:

a) Các mặt phẳng tọa độ có trong hình là: .

b) Các mặt phẳng tọa độ trong hình 2.35 đôi một vuông góc với nhau.

KẾT LUẬN

Trong không gian, ba trục  đôi một vuông góc với nhau tại gốc  của mỗi trục.

Gọi  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .

•       Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc , hay đơn giản là hệ tọa độ .

•      Điểm  được gọi là gốc tọa độ.

•      Các mặt phẳng  đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.

Không gian với hệ tọa độ  còn được gọi là không gian .

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.

Trả lời:

Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về một hệ tọa độ .

Gốc tọa độ  là góc tường.

Có 3 mặt phẳng tọa độ:

 - Mặt phẳng : là nền căn phòng.

 - Mặt phẳng : là bức tường bên phải.

 - Mặt phẳng : là bức tường bên trái.

Ví dụ 1:  Cho hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ  có gốc  trùng với đỉnh  và các vectơ  lần lượt là các vectơ  không? Giải thích vì sao.

Giải:

Hình lập phương có các cạnh  và  đôi một vuông góc với nhau.

Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các vectơ  cùng có điểm đầu là và đều có độ dài bằng 1.

Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ  có gốc  trùng với đỉnh  và các vectơ  lần lượt là các vectơ .

Luyện tập 1

Cho hình hộp chữ nhật  Có thể lập một hệ  có gốc  trùng với đỉnh và các vectơ  lần lượt cùng hướng với  không? Giải thích vì sao.

Giải:

Hình hộp chữ nhật có các cạnh  đôi một vuông góc với nhau tại

Mà các vectơ  cùng có điểm bắt đầu là .

Do đó có thể lập được một hệ tọa độ  có gốc  trùng với đỉnh  và các vectơ  lần lượt cùng hướng với các vectơ .

02

TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ 
CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

q  HĐ2: Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian

Trong không gian , cho một điểm  không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật  có ba đỉnh lần lượt thuộc các tia (H.2.37).

a) Hai vectơ  và  có bằng nhau hay không?

b) Giải thích vì sao có thể viết  với  là các số thực.

Trả lời:

a) Sử dụng quy tắc hình hộp ta được:

b) Ta có:  lần lượt là các vectơ đơn vị trên  và  cùng hướng với ;          cùng hướng với ;  cùng hướng với .

Ta có:  ; ;

KẾT LUẬN

Hãy tìm toạ độ của gốc  

Trả lời:

Tọa độ của gốc  là .

Ví dụ 2:  Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ  trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm .

Giải:

Trong Hình 2.38,  là hình hộp chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra

Vì vậy, toạ độ của điểm  là

Luyện tập 2

Tìm toạ độ của điểm  trong Hình 2.39.

Giải:

Ta có:

Vậy, tọa độ của điểm  là .

Ví dụ 3:  Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh  trùng với gốc  và các đỉnh  lần lượt thuộc các tia (H.2.40). Giả sử đỉnh  có toạ độ là đối với hệ toạ độ , hãy tìm toạ độ của các đỉnh đối với hệ toạ độ đó.

Vì đỉnh thuộc tia  nên hai vectơ  và  cùng phương, suy ra có số thực  sao cho .

Tương tự, có các số thực  sao cho  và  .