CHÀO MỪNG CÁC EM

ĐẾN VỚI BUỔI HỌC MÔN TOÁN!

Các mũi tên chỉ đường trong khu tham quan vườn thú (Hình 1) gợi nên hình ảnh các vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian là gì?

Các phép toán về vectơ trong không gian được thực hiện như thế nào?

CHƯƠNG II. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC

Khái niệm vectơ trong không gian

Các phép toán vectơ trong không gian

I. KHÁI NIỆM VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

q  HĐ1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

Giải

a) - Vectơ là một đoạn thẳng có hướng - Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

- Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

- Độ dài của vectơ  - Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng nối giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ kí hiệu là .

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. - Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

q  HĐ1: Trong mặt phẳng, hãy nêu định nghĩa:

a) Vectơ, giá và độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng;

b) Vectơ-không;

c) Hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau.

b) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu là .

c)

 - Hai vectơ ,  bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu:
  .

 - Hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

Khái niệm

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý

- Cho đoạn thẳng  - Cho đoạn thẳng  trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là  thì ta có một vectơ, kí hiệu là

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là  - Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là , , , , …

Kết luận

Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ-không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Ví dụ 1:  Cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó:

a) Bằng vectơ ;                         b) Là vectơ đối của vectơ .

Giải

) Do các vectơ  cùng hướng với vectơ

và (tính chất hình hộp) nên

Vậy ba vectơ  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ .

b) Do các vectơ  ngược hướng với vectơ  và (tính chất hình hộp) nên ba vectơ  là ba vectơ đối của vectơ .

Luyện tập 1

Cho hình hộp Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó:

a) Bằng vectơ ;          b) Là vectơ đối của vectơ .

a) Ba vectơ bằng vectơ  là:

 , , .

b) Ba vectơ là vectơ đối của vectơ :

, , .

Chú ý

Cho

Cho điểm  và vectơ . Khi đó, tồn tại duy nhất điểm  trong không gian sao cho .

Để xác định điểm  ta làm như sau (Hình 3)

 - Qua  kẻ đường thẳng  song song hoặc trùng với giá của vectơ .

 - Lấy điểm  trên đường thẳng  sao cho hai vectơ  là cùng hướng và độ dài đoạn thẳng  bằng độ dài vectơ .

II. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

q    HĐ2:  Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm  tuỳ ý.

) Vẽ

b) Tổng của hai vectơ  bằng vectơ nào trong Hình 4?

Giải

a) Vẽ , .

b) Tổng của hai vectơ  và  bằng vectơ .

Kết luận

Trong

Trong không gian, cho hai vectơ , . Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ , . Vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và , kí hiệu là   

 .