a) Giả sử trong tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BC tại H.

=> HB + HC = BC

- Trong tam giác vuông AHB có: AB > HB (1) (vì AB là cạnh huyền, đối diện góc có số đo lớn nhất).

- Tương tự, trong tam giác vuông AHC có: AC > HC (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2)  ta có: AB + AC > HB + HC hay AB + AC > BC (đpcm).

b) Trên tia PI lấy Q sao cho: PI = IQ (với P, I và Q thẳng hàng)

Xét hai tam giác MIQ và NIP có: + IQ = IP

                                                    + $\widehat{MIQ}$ = $\widehat{NIP}$ ( 2 góc đối đỉnh)

                                                    + MI = NI ( I là trung điểm của MN)

=> hai tam giác MIQ và NIP bằng nhau ( theo quan hệ cạnh góc cạnh)

=> PN = QM (cạnh tương ứng trong 2 tam giác bằng nhau) 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác MPQ, ta có: MP + MQ > PQ => MP + MQ > 2 PI (1)

Mà MQ = NP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP + NP > 2 PI hay PM + PN > 2 PI (đpcm)