a)

Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng a, hạ đường vuông góc và cắt a tại H.

Lần lượt lấy D, C thuộc a sao cho H là trung điểm của DC. Lấy B bất kỳ sao cho B nằm giữa D và H (như hình trên). Ta có:

+ AB đối diện với góc vuông H, mà AD lại đối diện với góc tù B => AD > AB ( cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn) (1)

+ Theo giả thiết, DH và BH lần lượt là hình chiếu của AD và AB lên a. DH > DB (theo hình vẽ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Xét 2 tam giác vuông ADH và ACH có: + AH chung

                                                               + góc AHD = góc AHC ( = 90 độ)

                                                               + HD = HC ( H là trung điểm của DC) (3)

Suy ra tam giác ADH bằng tam giác ACH => AD = AC (cặp cạnh tương ứng).(4)

HD và HC lần lượt là hình chiếu của AD và AC lên a. (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra Hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

b) - Trong tam giác AEC có: + AB là hình chiếu của BE 

                                              + AC là hình chiếu của CE

                                              + AB < AC (gt)

Suy ra BE < CE

- Trong tam giác AEC có: + AD là hình chiếu của DC

                                          + AE là hình chiếu của CE

                                          + AD > AE (gt)

Suy ra CD > CE

- Do BE < CE và CE < CD (chứng minh trên) => BE < CD