Qua O vẽ đường thẳng $d\perp (ABCD)$

=> d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi H là trung điểm cạnh SA => SH = AH.

Ta có: $\triangle SAO\sim \triangle SIH$

=> $\frac{SA}{SO}=\frac{SI}{SH}$

=> $SI=\frac{SA.SH}{SO}=\frac{SA^{2}}{2SO}$

Mặt khác: $SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=\frac{3a^{2}}{4}$

=> $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> $SI=\frac{3a}{4}$

=> $SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}$

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính $R=SI=\frac{3a}{4}$.

=> Diện tích mặt cầu là: $S=4\prod R^{2}=4\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{9a^{2}\prod }{4}$  (đvdt)

     Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\prod r^{2}=\frac{4}{3}\prod (\frac{3a}{4})^{2}=\frac{3\prod a^{2}}{4}$  (đvtt)