Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$.       

       $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$ và đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.

Ta có:  $AD = AF => AB = AC$

            $BD = BE => BC = AB$

=> $AB = BC = CA$

=>△ABC là tam giác đều.                                   (1)

Mặt khác: $AM = AD$

                 $BN = BD = AD$

                 $SM = SN = SP$

=>  $SM + AM = SN + NB$

=>  $SA = SB$

Tương tự: $SA = SB = SC$

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S

Ta có: $△SHA = △SHB =△SHC$        

=> $HA = HB = HC$

=> H là tâm của tam giác đều ABC,                               (2)

Từ (1), (2) => hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.   (đpcm)