a) Từ A kẻ $AH\perp MP(BCD)$

Theo bài ra: $AB=AC=AD$

=> $\triangle ABH=\triangle ACH=\triangle ADH$

=> $HB=HC=HD$

=> H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCH.  (đpcm)

Ta có: $AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}$

Mà: $BH=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

=> $AH=\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy $AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

b) Ta có: $h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

                $r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

=> $S_{xq}=2\prod .r.h=2\prod .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\prod a^{2}\sqrt{2}}{3}$  (đvdt)

      $V=\prod r^{2}.h=\prod (\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\prod a^{3}\sqrt{6}}{9}$   (đvtt)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ bằng $S_{xq}=\frac{2\prod a^{2}\sqrt{2}}{3}$  (đvdt)

       Thể tích của khối trụ bằng $V=\frac{\prod a^{3}\sqrt{6}}{9}$   (đvtt)