A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm mặt cầu
1. Khái niệm
- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng $r$, ($r>0$) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính $r$.
- Ký hiệu:
$S(O;r)$ |
- CD được gọi là dây cung <=> hai điểm C, D nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
- AB được gọi là đường kính mặt cầu <=> dây cung AB đi qua tâm O.
- $AB=2r$.
2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho $S(O;r)$ và A là điểm bất kì trong không gian.
- $OA=r$ => A nằm trên mặt cầu $S(O;r)$.
- $OA<r$ => A nằm trong mặt cầu $S(O;r)$.
- $OA>r$ => A nằm ngoài mặt cầu $S(O;r)$.
==> Kết luận:
- Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu $S(O;r)$ cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính $r$.
3. Cách biểu diễn mặt cầu
- Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
- Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
- Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu.
- Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục.
- Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục.
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho $S(O;r)$ và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).
=>$h=OH$ là khoảng cách từ O tới (P).
1. Khi $h>r$
Với M là một điểm bất kì trên (P) => $OM \geq OH$
=> $OM >r$ hay $\forall M \in (P)$.
==> Kết luận: (P) không cắt $S(O;r)$.
2. Khi $h=r$
- Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với $S(O;r)$ tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H.
3. Khi $h<r$
Ta có: $r'=\sqrt{r^{2}-h^{2}}=MH$
=> $M \in (P)$.
- Khi $h=0$ => Tâm O của mặt cầu thuộc (P).
=> Giao tuyến của (P) và $S(O;r)$ là đường tròn tâm O bán kính $r$. ( gọi là đường tròn lớn ).
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho $S(O;r)$ và đường thẳng $\Delta $. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên $\Delta $ và $d= OH$ là khoảng cách từ O tới $\Delta $.
1. Khi $d>r$
$\Delta $ không cắt $S(O;r)$.
=> $M\forall M \in \Delta$ đều nằm ngoài $S(O;r)$.
2. Khi $d=r$
- Điều kiện cần và đủ để $\Delta $ tiếp xúc với $S(O;r)$ tại H là $\Delta $ vuông góc với bán kính OH tại H.
3. Khi $d<r$
Ta có: $\Delta $ cắt $S(O;r)$ tại hai điểm M và N.
=> Hai điểm M và N là giao điểm của $\Delta $ với đường tròn giao tuyến của $S(O;r)$ và mặt phẳng $(O,\Delta )$.
Đặc biệt:
- Khi $d=0$ => $\Delta $ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.
=> AB là đường kính của mặt cầu.
IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu
- Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.
$S=4\prod r^{2}$ |
- Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.
$V=\frac{4}{3}\prod r^{3}$ |
Bình luận