a) Có \(B'A' = B'B = B'C' \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\).          (1)

\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau) \(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B'D$ thuộc trục của $(A'BC')$

\(\Rightarrow B'D\) vuông góc với \((A'BC')\). 

b) Chứng minh tương tự ta được \(B'D\bot (ACD')\)

Hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\) cùng vuông góc với \(B'D\) (tại \(I\) và \(H\)) nên chúng song song với nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \(IH\).  

Ta có:

\(O'I//D'H\), \(O'\) là trung điểm của \(B'D'\) nên theo định lí Ta lét thì \(I\) là trung điểm của \(B'H\) hay \(IB'=IH\)  (3)

\(OH//IB\), \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên theo định lí Ta lét thì \(H\) là trung điểm của \(DI\) hay \(HI=HD\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(IH=\frac{B'D}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà hai mặt phẳng này song song

Do đó, \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

(Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó).