Phương trình chính tắc của elip có dạng:   \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

a) Elip đi qua \(M(0; 3)\) nên thay tọa độ $M$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   b^2= 9\)

Elip đi qua \(N( 3; \frac{-12}{5})\) nên thay tọa độ $N$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1  \Rightarrow  a^2= 25\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\frac{x^{2}}{25}  + \frac{y^{2}}{9} = 1\)

b) Ta có: \(c = \sqrt3  \Rightarrow    c^2= 3\)

Elip đi qua điểm  \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nên thay tọa đọ $M$ vào phương trình elip ta có:

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   \frac{1}{a^{2}}+ \frac{3}{4b^{2}}= 1\)  (1)

Mặt khác:  \( c^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\)

Thế vào (1) ta được : \(\frac{1}{b^{2}+ 3} + \frac{3}{4b^{2}} = 1\)

\(\Rightarrow  a^2= 4b^2+ 5b^2- 9 = 0 \)

\(\Rightarrow b^2 =1\) hoặc \( b^2= \frac{-9}{4}\)( loại)

Với \( b^2= 1\Rightarrow  a^2= 4\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\frac{x^{2}}{4}  + \frac{y^{2}}{1}= 1\)