a) Ta có \(\vec{AB} = (2; -5)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$.

    => $\vec{n}=(5;2)$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$

    => Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng là: $5x+2y+c=0(1)$

    Vì $A(1;4) \in AB$ nên thay tọa độ điểm $A$ vào (1) ta có: 

     $5.1+2.4+c=0 \Rightarrow c=-13$

     => Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $5x+2y-13=0$

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng \(BC: x - y -4 = 0\)

phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y -22 = 0\)

b)

• Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

   \(\Rightarrow \vec{AH}  ⊥ \vec{BC}\) nên đường thẳng $AH$ nhận \(\vec{BC} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát: $3x+3y+c=0$

    Vì $A(1;4) \in AH$ nên thay tọa độ $A$ vào phương trình $AH$ ta có:

    $3.1+3.4+c=0 \Rightarrow c=-15$

   => Phương trình tổng quát của $AH$ là: $3x+3y-15=0$.

•    Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có \(M (\frac{9}{2}; \frac{1}{2})\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A, M\). 

\(AM:{{x - 1} \over {{9 \over 2} - 1}} = {{y - 4} \over {{1 \over 2}-4}} \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)