Vẽ hình:

Chứng minh:

a) Xét tam giác ABK và ACK ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AK chung

KB = KC (gt)

=> ΔABK=ΔACK (c.c.c)

=>$\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$

=> AK là tia phân giác của góc BAC.

I là giao điểm của hai đường phân giác CE và BD nên I cũng nằm trên phân giác AK 

=> I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) Xét tam giác EBC và DCB ta có:

$\widehat{EBC}=\widehat{DCB} $(tam giác ABC cân tại A)

BC chung

$\widehat{BCE}=\widehat{CBD}$ 

=> ΔEBC=ΔDCB (g.c.g) 

=> BE = CD.

Xét tam giác EBK và DCK ta có:

BK = CK (gt)

$\widehat{EBK}=\widehat{DCK}$

EB = DC

=> ΔEBK=ΔDCK (c.g.c) 

=>$\widehat{BKE}=\widehat{CKD}$ (1)

Lại có $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}$=90∘ (do tam giác ABC cân tại A và K là trung điểm của đoạn BC) (2)

Từ (1) và (2) 

=> $\widehat{AKB}−\widehat{EKB}=\widehat{AKC}−\widehat{DKC} $

=> $\widehat{EKI}=\widehat{IKD}$

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.