Ta có:

a) Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) và $\overrightarrow{AC}$ = (1; -3)

=> 2 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

=> ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác

Gọi G(x; y) là tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

Vậy $G(2; \frac{5}{3}$)

b) 

Gọi I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

=>IA = IB = IC

Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:

$\overrightarrow{IA}$ = (1 - a; 2 - b)

$=> |\overrightarrow{IA}| = \sqrt{(1 - a)^{2} + (2 - b)^{2}}$

$\overrightarrow{IB}$ = (3 - a; 4 - b)

$=> |\overrightarrow{IB}| = \sqrt{(3 - a)^{2} + (4 - b)^{2}}$

$\overrightarrow{IA}$ = (2 - a; -1 - b)

$=> |\overrightarrow{IC}| = \sqrt{(2 - a)^{2} + (-1 - b)^{2}}$

Có IA = IB = IC nên $IA^{2} = IB^{2} = IC^{2}$ 

$=> (1 - a)^{2} + (2 - b)^{2} = (3 - a)^{2} + (4 - b)^{2} = (2 - a)^{2} + (-1 - b)^{2}$

Gọi H($x_{0}; y _{0}$) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Vì H là trực tâm của tam giác ABC 

=>$\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{IM}$ với M là trung điểm BC

Với A(1; 2), B(3; 4), C(2; –1) và I($\frac{15}{4}; \frac{5}{4}$) ta có:

$=> M(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$

$=> \overrightarrow{IM} = (\frac{-5}{4}; \frac{1}{4}$) 

$=> 2\overrightarrow{IM} = (\frac{-5}{2}; \frac{1}{2}$)

Có $\overrightarrow{AH} = (x_{0} - 1; y _{0} - 2)$ ta có $\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{IM}$

Vậy H($\frac{-3}{2}; \frac{5}{2}$)