Nối BD và CD.

Từ hình vẽ ta có $DK$ là đường trung trực của $AC \Rightarrow DA = DC$.

Từ hình vẽ ta có $DI$ là đường trung trực của $AB \Rightarrow DA = DB$.

Xét $ΔADK$ và $ΔCDK$ có:

   $ AD = CD\,\ (cmt)$

    $DK$ chung

    $AK = KC\,\ (gt)$

$\Rightarrow ΔADK = ΔCDK\,\ (c-c-c)$

$\Rightarrow \widehat{ADK}= \widehat{CDK}$

hay DK là phân giác \(\widehat{ADC}\)

$\Rightarrow \widehat{ADK} = \frac{1}{2}.\widehat{ADC}$

Tương tự chứng minh trên, ta có: $∆ADI = ∆BDI (c-c-c)$

$\Rightarrow \widehat{ADI}= \widehat{BDI}$

$\Rightarrow DI$ là phân giác $\widehat{ADB}$

$\Rightarrow \widehat{ADI}= \frac{1}{2}.\widehat{ADB}$

Vì $AC // DI$ (cùng vuông góc với AB) mà $DK ⊥ AC$ 

$\Rightarrow DK ⊥ DI$

hay \(\widehat{ADK}+ \widehat{ADI}= 90^0\)

Do đó \(\frac{1}{2}.\widehat{ADC}+ \frac{1}{2}.\widehat{ADB} = 90^0\)

$\Rightarrow \widehat{ADC}+ \widehat{ADB} = 180^0$

Vậy $B,C,D$ thẳng hàng.