Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S.

Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau

=> $\left\{\begin{matrix}AM=AN=AP=a &  &  & \\ BM=BQ=BS=b &  &  & \\ CQ=CN=CR=c &  &  & \\ DP=DR=DS=d &  &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}AB+CD=a+b+d+c &  & \\ AC+BD=a+d+b+c &  & \\ AD+BC=a+c+b+d &  & \end{matrix}\right.$

<=> $AB+CD=AC+BD= AD+BC$   (đpcm).