Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Ta có: OE // CD => $\frac{OE}{CD}=\frac{OA}{AC}$ (1)

Ta có: OF // CD => $\frac{OF}{CD}=\frac{OB}{BD}$ (2)

Ta có: AB // CD => $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ 

=> $\frac{OA}{OA+OC}=\frac{OB}{OB+OD}=> \frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}$ (3)

Từ (1) (2) (3) => $\frac{OE}{CD}=\frac{OF}{CD}$ => $OE = OF$.

Xét tam giác OKE có AN // OE

=> \({{AN} \over {EO}} = {{KN} \over {KO}}\) (4)

Xét tam giác OKF có: BN // OF

=> \({{BN} \over {OF}} = {{KN} \over {KO}}\) (5)

Từ (4) (5) =>\({{AN} \over {EO}} = {{BN} \over {FO}}\) mà OE = OF (cmt)

=>AN = BN hay N là trung điểm của AB.

Chứng minh tương tự: \({{DM} \over {OE}} = {{CM} \over {OF}} =  > MD = MC\)

=>M là trung điểm của CD.

Vậy đường thẳng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB, CD.