a) Gọi M là trung điểm của B'C'.

Do tam giác A'B'C' là tam giác đều nên $A'M \perp B'C'$, hơn nữa ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên $(A'B'C') \perp (BCC'B')$ suy ra $A'M \perp (BB'C'C)$.

Ta có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $S_{BB'C}=\frac{1}{2}BB'.BC=\frac{1}{2}a^{2}$.

$V_{A'BB'C}=\frac{1}{3}A'M. S_{BB'C}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xét (GA'B') và (ABC) có 

$ G \in (GA'B') \cap (ABC)$ và $A'B' \parallel AB$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua G và song song với AB lần lượt cắt AC và AB tại E và F.

Hơn nữa $\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{CB}=\frac{2}{3}$.

Ta có $\frac{V_{CB'A'E}}{V_{CB'A'A}}=\frac{CB'}{CB'}.\frac{CA'}{CA'}.\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$

$\frac{V_{CB'FE}}{CB'BA}=\frac{CB'}{CB'}.\frac{CF}{CB}.\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

Gọi K là trung điểm của AB.

Hơn nữa $V_{CB'A;E}=V_{CB'FE}=\frac{1}{3}.CK. S_{AA'B'}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$.

Vậy $V_{CA'B'FE}=V_{CB'FE}+V_{CB'A'E}=\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{54}$

Cách 2: Thể tích hình chóp $C.A'B'FE$ bằng tổng thể tích hai hình chóp

• $V_{1}$ là thể tích hình chóp đỉnh B' đáy là tam giác CEF.
• $V_{2}$ là thể tích hình chóp đỉnh B', đáy là tam giác A'EC.