a) $V_{M.ADN}=\frac{1}{3}.AA'.S_{ADN}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{3}}{6}$.

b) Trước hết ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN)

Do $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$ nên (DMN) cắt (A'B'C'D') theo một giao tuyến song song với DN.

Từ M kẻ đường thẳng song song với DN cắt cạnh A'D' tại P và cắt đường thẳng C'B' tại Q. Trong mặt phẳng (BCC'B') thì QN cắt cạnh BB' tại điểm R, đa giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (DMN).

Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện ABNDPMR. Thể tích bày có thể coi là thể tích của ba hình chóp

• $V_{1}$ là thể tích hình chóp đáy ABND và đỉnh M.
• $V_{2}$ là thể tích hình chóp đáy AA'PD, đỉnh M.
• $V_{3}$ là thể tích hình chóp đáy NRB, đỉnh M.

Hình chóp M.ABND có đường cao bằng a, diện tích đáy là hình thang ABNF là $\frac{1}{2}(\frac{a}{2}+a).a=\frac{3a^{2}}{4}$

$\Rightarrow V_{1}=\frac{1}{3}.\frac{3a^{2}}{4}.a=\frac{a^{3}}{4}$.

Dễ thấy $A'P=\frac{a}{4}$. Hình chóp M.AA'PD có chiều cao $\frac{a}{2}$ và diện tích hình thang AA'PD là $\frac{1}{2}(\frac{a}{4}+a).a=\frac{5a^{2}}{8}$

$\Rightarrow V_{2}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{5a^{2}}{8}=\frac{5a^{3}}{48}$.

Dễ thấy $BR=\frac{2}{3}a$. Diện tích tam giác NRB là $\frac{1}{2}.\frac{2}{3}a.\frac{a}{2}=\frac{a^{2}}{6}$.

$V_{3}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^{2}}{6}=\frac{a^{3}}{36}$.

$\Rightarrow V_{ABNDPMR}=V_{1}+V_{2}+V_{3}=\frac{a^{3}}{4}+\frac{5a^{3}}{48}+\frac{a^{3}}{36}=\frac{55a^{3}}{144}$.

Thể tích phần còn lại là $a^{3}-\frac{55a^{3}}{144}=\frac{89}{144}a^{3}$.

Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{55}{89}$.