Kẻ $OH \perp (ABC) \Rightarrow OH \perp BC$.

Hơn nữa $\left.\begin{matrix} OA \perp OB\\ OA \perp OC\end{matrix}\right\} \Rightarrow OA \perp BC $

$\Rightarrow BC \perp (AOH) $.

Kéo dài AH cắt BC tại D nên $BC \perp AD$. Suy ra H nằm trên đường cao AD.

Chứng minh tương tự ta được H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét tam giác AOD có $\widehat{AOD}=90^{0}$ (do $AO \perp (OCB) \Rightarrow AO \perp OD$) và $OH \perp AD$ (do $OH \perp (ABC))$

$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OD^{2}}$. (1)

Xét tam giác OBC vuông tại O có $OD \perp BC$ (do $BC \perp (AOH)$)

$\frac{1}{OD^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

$\Rightarrow OH=\frac{abc}{\sqrt{a^{2}.b^{2}+b^{2}.c^{2}+c^{2}.a^{2}}}$.