Gọi M là trung điểm của BD, H là tâm của tam giác BCD nên $AH \perp (BCD).$

Xét tam giác BCD có $BM=\frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow S_{BCD}=\frac{1}{2}.BM.CD=\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Hơn nữa $BH=\frac{2}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{2a^{2}}{3}$.

$\Rightarrow AH=a \sqrt{\frac{2}{3}}$.

$V_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$.