Hoạt động 1 trang 95 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số

a) Gọi g(x) là đạo hàm của hàm số $y=sin(2x+\frac{\pi }{4})$.Tìm g(x)

b) Tính đạo hàm của hàm số y=g(x). 

Trả lời

a) Với hàm số $y=sin(2x+\frac{\pi }{4})$, ta có:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}(sin(2x+\frac{\pi }{4}))=2cos(2x+\frac{\pi }{4})$

đạo hàm cấp hai của y:

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2cos(2x+\frac{\pi }{4})=−4sin(2x+\frac{\pi }{4})$

b) Giả sử g(x) là đạo hàm của hàm số y=f(x). Ta có:

$g(x)=f′(x)=2cos(2x+\frac{\pi }{4})$

Để tính đạo hàm của hàm số y=g(x), ta tính đạo hàm của g(x) theo công thức:

$g′(x)=\frac{d}{dx}(2cos(2x+\frac{\pi }{4})=−4sin(2x+\frac{\pi }{4})$

 Luyện tập 1 trang 95 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=xe^{2x}$

b) $y=ln(2x+3)$

Trả lời

a) $y'=e^{2x}+2xe^{2x}=(2x+1)e^{2x}$

$y=xe^{2x} là y''=2(2x+2)e^{2x}$

b) $y'=\frac{2}{2x+3}$

$=> y''=\frac{d}{dx}(\frac{2}{2x+3})=\frac{-4}{(2x+3)^{2}}$

Hoạt động 2 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos2πt.

a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t

Trả lời

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t

a) Để tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta tính đạo hàm cấp nhất của s(t) theo t:

v(t) = $\frac{ds}{dt}$ = −8πsin(2πt)

b) Để tính gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta tính đạo hàm cấp hai của s(t) theo t:

$a(t)=\frac{d^{2}s}{dt}=−16\pi ^{2}cos(2\pi t)$

Vận dụng trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s=2t^{2}+\frac{1}{2}t^{4}$ (s tinh bằng mét,t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t=4 giây.

Trả lời

Đạo hàm cấp nhất của s(t) theo t:

$v(t)=\frac{ds}{dt}=4t^{3}+2t$

đạo hàm cấp hai của s(t) theo t:

$a(t)=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$

Vậy, gia tốc của vật tại thời điểm t=4 giây là:

$a(4)=12(4)^{2}+2=194(m/s^{2})$

BÀI TẬP

Bài tập 9.13 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $f(x)=x^{2}e^{2}.$ Tính   f′(0)

Trả lời

$f′(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=(x^{2}+2x)e^{x}$

Tính giá trị của f′(x) tại điểm x=0:

$f′(0)=(0^{x}+2.0)e^{0}=0.1=0$

Bài tập 9.14 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=ln(x+1);$

b) $y=tan2x.$

Trả lời

a) $y'=\frac{1}{x+1}$

$y''=\frac{-1}{(x+1)^{2}}$

b) $y'=2\cdot \frac{1}{cos^{2}x}(2x)$

$y''=8.\frac{1}{cos^{2}x}tan(2x)=8(1+tan^{2}(2x))tan(2x)$

Bài tập 9.15 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $P(x)=ax^{2}+bx+3$ (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P′(1)=0 và P"(1)=−2.

Trả lời

Lời giải:

Ta có $P′(1)=0$

$P′(1)=2a(1)+b=0⇒2a=−b$

Với $P"(1)=−2$

$P"(1)=2a(−1)=−2⇒a=1$

Vậy $a=1 và b=−2a=−2 $

⇒ $P(x)=x^{2}−2x+3$

Bài tập 9.16 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $2sin^{2}(x+\frac{\pi }{4})$. Chứng minh rằng |f"(x)| ≤ 4 với mọi x

Trả lời

$f(x)=2sin^{2}(x+\frac{\pi }{4})=2\left [ \frac{\sqrt{2}}{2}cos(x) \right ]^{2}$

$=2\left ( \frac{1}{2}sin^{2}(x)+ \frac{1}{2}cos^{2}(x)+\sqrt{2}sinxcosx \right )$

$f'(x)=2(cos(x)-sin(x)+\sqrt{2}cos(x))$

$f"(x)=2(-sin(x)-cos(x)+\sqrt{2}(-sin(x)+cos(x)))=-4cos(x)$

Do đó, với mọi giá trị của x, ta có:

f"(x)=4|cos(x)|≤4

Bài tập 9.17 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s(t)=10+0,5sin(2\pi t+\frac{\pi }{5})$ trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t=5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Trả lời

 Đạo hàm của s(t) theo t:

$\frac{ds}{dt}=0,5.2π.cos(2\pi t+\frac{\pi }{5})=\pi cos(2\pi t+\frac{\pi }{5})$

đạo hàm cấp hai của s(t) theo t:

$\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=−π^{2}sin(2\pi t+\frac{\pi }{5})$

tại t=5 giây:

$\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=−π^{2}sin(2\pi 5+\frac{\pi }{5})\approx −24.5cm/s^{2}$