1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Hoạt động 1 trang 81 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, $s=s(t)$ (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$

b Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?

Trả lời

a) $v_{av}=\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}$

b) $v=\lim_{t-t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}$

b) Cường độ tức thời

Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$.

b) Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?

Trả lời

a) Cường độ trung bình = $\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$

b) Giới hạn này cho biết cường độ dòng điện tại thời điểm $t_{0}$.

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Luyện tập 1 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y= -x^{2}+2x+1$ tại điểm $x_{0}=-1$

Trả lời

Ta có 

$y=-x^{2}+2x+1\Rightarrow y^{'}=(-2x+2)$

Để tính đạo hàm tại điểm $x_0 = -1$, ta thay $x = -1$ vào $y'$:

$y^{'}(-1)=(-2(-1)+2)=$

Vậy, đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ tại điểm $x_0 = -1$ bằng $4$.

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hoạt động 3 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm $f(x_{0})$ tại điểm $x_{0}$ bất kì trong các trường hợp sau:

a) $f(x)=c$ (c là hằng số);

b) $f(x) = x$.

Trả lời

a) Với hàm số $f(x)=c$, với $c$ là hằng số bất kỳ, ta có $f'(x)=0$ vì đạo hàm của một hằng số bất kỳ luôn bằng 0. Do đó, $f'(x_{0})=0$ với mọi $x_{0}$.

b) Với hàm số $f(x)=x$, ta có $f'(x)=1$ với mọi $x$. Do đó, $f'(x_{0})=1$ với mọi $x_{0}$.

Luyên tập 2 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^{2}+1$;

b) $y = kx + c$ (với k, c là các hằng số).

Trả lời

a)  $y=x^{2}+1$

$y^{'}=2x+0=2x$

b)$y = kx + c$

$y^{'}=k+ 0 =k$

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Hoạt động 4 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và điểm $P(x_{0};f(x_{0}))\in (C)$. Xét điểm $Q(x; f (x))$ thay đổi trên (C) với $x\neq x_{0}$

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P,Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc KPQ của cát tuyến PQ.

b) Khi $x\rightarrow  x_{0}$ thì vị trí của điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Trả lời

a) Hệ số góc của đường thẳng $PQ$

$f^{'}(x_{0})=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$

b) Khi $x\rightarrow  x_{0}$ thì vị trí của điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm $ P(x_{0},f(x_{0})$ và khi $x=x_{0}$ hai điểm này sẽ trùng nhau

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến gần vị trí của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $P(x_0, f(x_0))$. Nói cách khác, khi điểm $Q(x, f(x))$ tiến đến điểm $P(x_0, f(x_0))$, thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến vị trí của tiếp tuyến tại điểm $P(x_0, f(x_0))$. Vì vậy, giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $P(x_0, f(x_0))$.

Luyên tập 3 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^{2} $ tại điểm có hoành độ$x_{0}=\frac{1}{2}$

Trả lời

Đặt $x=x_{0}=\frac{1}{2}$

$y^{'}=2x$

$y^{'}(x_{0})=2.\frac{1}{2}=1$

b) Phương trình tiếp tuyến 

Hoạt động 5 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $y=x^{2}$ có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Trả lời

a) $y^{'}(x_{0})=y^{'}(1)=2.1=2$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị parabol $y=x^{2}$ tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$ là 2

b)$y_{0}=(1)^{2}=1$

Do đó, điểm tiếp xúc có tọa độ là $(1,1)$.

Vì hệ số góc của tiếp tuyến là $m=2$

 $y-1=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x-1$

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đường parabol $y=x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là $y=2x-1$.

Luyên tập 4 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=-2x^{2}$ tại điểm có hoành độ $ x_{0}=-1$

Trả lời

$y^{'}=-4x $

Đạo hàm của $(P)$ tại $x_0=-1$

$y^{'}(x_{0})=-4 (-1)=4$

Với $m=y'(x_0)=4$, $x_0=-1$, $y_0=-2$, ta có:

$y+2=4(x+1)$

Đây chính là phương trình tiếp tuyến của $(P)$ tại điểm $(-1,-2)$.

Vận dụng trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^{\circ}$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trả lời

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đầu mút của cây cầu. Ta có $OB=OA=200$m. Theo đề bài, độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^\circ$, do đó độ lệch $h$ giữa đỉnh của cầu và mặt phẳng $AB$ không vượt quá:

$h= OB.tan(10^{\circ})\approx 34,64m$

Do đó, độ cao giới hạn của cây cầu là $h + 200 \approx 234.6$ (m).

BÀI TẬP

Bài tập 9.1 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^{2} – x $tại$x_{0} = 1$;

b) $y = -x^{3}$ tại $x_{0} = -1$.

Trả lời

a)$ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^{2} - (1+h) - (1^{2} - 1)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^{2} - 1 - h - 1 + 1}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (h + 1)$

$= 1 + 1$

$= 2$

b)$ f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-(h-1)^{3} + 1^{3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-(h^{3} - 3h^{2} + 3h - 1) + 1}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h^{3} + 3h^{2} - 3h}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (-h^{2} + 3h - 3)$

$= 3$

a)$ y = kx^{2} + c$ (với k, c là các hằng số);

b) $y = x^{3}$

Trả lời

a) $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{k(x+h)^{2}+c - (kx^{2}+c)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{kx^{2}+2kxh+kh^{2}+c-kx^{2}-c}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2kxh+kh^{2}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (2kx + kh)$

$= 2kx$

b) $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (3x^{2}+3xh+h^{2})$

$= 3x^{2}$

Bài tập 9.3 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y=-x^{2}+4x $, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_{0} = 1$;

b) Tiếp điểm có tung độ $y_{0} = 0$.

Trả lời

a) Đạo hàm của hàm số tại điểm$x_{0}$

$f^{'}(x)=-2x+4$ 

đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}=1$

$f ^{'}(1)=-2(1)+4=2 $

phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm $x_{0}=1$ là:

$y-f(x_{0})=f^{'}(x_{0})(x-(x_{0})\Rightarrow y-f(1)=2(x-1)$

Thay $f(1)=3$, ta được phương trình tiếp tuyến:

$y-3 =2(x-1)\Rightarrow y=2x+1$

b) Tại điểm $y_0=0$ ta có $x=2$

Đường tiếp tuyến tại điểm $(2,0)$ có độ dốc bằng $y'=-2\times2+4=-4$. Sử dụng công thức tương tự, ta có:

$y-0 =- 4(x-2)\Rightarrow y= -4x+8$

Bài tập 9.4 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức $h=19,6t – 4,9t^{2}$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Trả lời

Tại thời điểm mà vật đạt độ cao bằng 0, ta có

$0=19,6t - 4,9 t^{2}$

$0=t(19,6 - 4,9 t)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=0 &  & \\ t=4 &  & \end{matrix}\right.$

Khi t = 4 (thời điểm vật chạm đất), ta có:

$19,6 -9,8(4)=-19,6$

Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là 19,6 m/s

Bài tập 9.5 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_{1}$, và đoạn dốc xuống $L_{2}$, là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_{1}$ và  $L_{2}$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là $y = ax^{2} + bx + c$, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Trả lời

a) Ta có 

$y' = 2ax + b$

Ta lại có phương trình của tiếp tuyến là:

$y-y_{p}=y'(x_{p})(x-x_{p})$

Thay các giá trị này vào phương trình tiếp tuyến, ta có:

$0=2ap+b$

Vậy $b=-2ap$ thay x=0 vào phương trình đường cong ta có

$y=a(0)^{2}+c(0)+c=c \Rightarrow c=yp$

b) $y'=2ax+b=c$ khi $x=0\Rightarrow y'(0)b$

c) Ta có 

$y'(P)=2aP+b=0,5$

$y'(P)=2aP+b=0,75$

TRừ hai phương trình, ta có:

$2a(Q-P)=-1,25$

$Q-P=20$

$\Rightarrow a=\frac{-1,25}{40}$