1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 

a, Đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in \mathbb{N})$

Hoạt động 1 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm của hàm số $y=x^{n}$

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x^{3}$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in \mathbb{N})$

Trả lời

a) $y′=3x^{2}$

b) ) $y′=nx^{n−1}$

b, Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hoạt động 2 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x>0.

Trả lời

$y′=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Hoạt động 3 trang 89 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=x^{3}+x^{2}$ tại điểm x bất kì.

b) So sánh: $(x^{3}+x^{2})'$ và $(x^{3})'+(x^{2})'.$

Trả lời

a) $y'=3x^{2}+2x$

b) $(x^{3}+x^{2})' = (x^{3})'+(x^{2})'.$

Luyện tập 1 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

b) $y=(\sqrt{x}+1).(x^{2}+2)$

Trả lời

a) $y'=\frac{(\sqrt{x})'(x+1)-\sqrt{x}(x+1)}{(x+1)^{2}}$

$y'=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^{2}}$

$y'=\frac{(x+1)-2x\sqrt{x}}{2(x+1)^{2}\sqrt{x}}$

b) $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^{2}+2)+2x(\sqrt{x}+1)$

$y'=\frac{x+4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}+2x(\sqrt{x}+1)$

$y'=\frac{5x+8\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}+2x$

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Hoạt động 4 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y=u^{2} và u=x^{2}+1

a) Viết công thức của hàm số hợp $y = (u(x))^{2} $ theo biến x.

b) Tính và so sánh: y′(x)và y′(u).u′(x).

Trả lời

a) Ta có $y=u^{2}$ và $u=x^{2}+1$, suy ra $y=(x^{2}+1)^{2}.$

b) Ta có y=(u(x))^{2}, suy ra theo quy tắc chuỗi ta có:

$y′(x)=2u(x)⋅2x=4x(x^{2}+1)$

Và $y′(u)=2u, u′(x)=2x$, suy ra $y′(u).u′(x)=2u⋅2x=4x(x^{2}+1).$

Luyện tập 2 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=(2x-3)^{10}$

b) $y=\sqrt{1-x^{2}}$

Trả lời

a) $y'(x)=\frac{d}{dx}(2x-3)^{10}$

$=10(2x-3)^{9}\cdot \frac{d}{dx}(2x-3)$

$=10(2x-3)^{9}.2=20(2x-3)^{9}$

b) $y'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^{2}}$

$=\frac{d}{dx}(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

a) Đạo hàm của hàm số y = sin x

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h≠0, biến đổi hiệu $sin(x+h)−sinx$ thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số $y=sinx$ tại điểm x bằng định nghĩa

Trả lời

a) $sin(x+h)−sin(x)=2cos(\frac{x+h+x}{2}) sin(\frac{x+h-x}{2})=2cos(x+\frac{h}{2})sin(\frac{h}{2})$

b) Áp dụng định nghĩa, ta có:

$y′(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2cos(x+\frac{h}{2})}{h}$

Chia tử và mẫu cho $2sin(\frac{h}{2})$, ta có:

$y'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(x+\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cdot \frac{1}{sin(\frac{h}{2})}\cdot sin(\frac{h}{2})=\lim_{h\rightarrow 0}cos(x+\frac{h}{2})\cdot \frac{1}{\frac{h}{2}}\cdot \frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}$

Áp dụng kết quả của đẳng thức giới hạn, ta có:

$y′(x)=cos(x)⋅1=cos(x)$

Luyện tập 3 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=sin\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

Trả lời

$y'=\frac{d}{dx}\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

$y'=(-3)cos\left ( \frac{\pi }{3} -3x\right )$

b) Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hoạt động 6 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm số y=cosx

 Bằng cách viết $y=cosx=sin(\frac{\pi }{2}−x)$ tính đạo hàm của hàm số y=cosx.

Trả lời

$y′=cosx=−sinx.$

Luyện tập 4 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos(\frac{\pi }{4}-2x)$

Trả lời

$y'=[2cos(\frac{\pi }{4}-2x)]$

$=-2sin(\frac{\pi }{4}-2x).(\frac{\pi }{4}-2x)$

$=-2sin(\frac{\pi }{4}-2x).(-2)$

$=4sin(\frac{\pi }{4}-2x)$

c) Đạo hàm của các hàm số $y=tanx$ và $y=cotx$

Hoạt động 7 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số $y=tanx$ và $y=cotx$

a) Bằng cách viết $y=tanx=\frac{sinx}{cosx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z})$, tính đạo hàm của hàm số y=tanx

b) Sử dụng đẳng thức $x=tan(\frac{\pi }{2})−x$ với x ≠ π(k∈Z), tính đạo hàm của hàm số y=cotx.

Trả lời

a)$ (tanx)'=\frac{cosx.sin'x-sinx.cos'x}{cos^{2}x}$

$=\frac{cosx.cosx-sinx.-sinx}{cos^{2}x}$

$=\frac{cos^{2}x+sin^{2}x-}{cos^{2}x}$

$=\frac{1}{cos^{2}x}$

b) $(cotx)'=\frac{sinx(-cosx)-cosx.sinx}{sin^{2}x}$

$=\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x}=\frac{-1}{sin^{2}x}$

Luyện tập 5 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2tan^{2}x+3cot\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right )$

Trả lời

$y'=\left ( 2tan^{2}x+3cot\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right ) \right )'$

$y'=4sinx+6cos^{2}\left ( \frac{\pi }{3}-2x \right )$

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 8 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến $t=\frac{1}{x}$, tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

b) Với $y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, tính In y và tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow 0}lny.$

c) Đặt $t=e^{x}−1$. Tính x theo t và tìm giới hạn $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}−1}{x}$

Trả lời

a) $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

b) $lny=ln[(1+x)^{\frac{1}{x}}]=\frac{ln(1+x)}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1$

c) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{ln(1+t)-1}}{ln(1+t)}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{t}{1+t}=0$

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 9 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h-1}}{h}=1$ và đẳng thức $e^{x+h}-e^{x}=e^{x}(e^{h}-1)$, tính đạo hàm của hàm số $y=x^e$ tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức $a^{x}=e^{xlna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của hàm số $y=a^{x}$

Trả lời

a) $y'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^e-x^e}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln(x+h)}-e^{e\ln x}}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-e^{e\ln x}}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\ln(1+\frac{h}{x})}-1\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\left(\frac{h}{x}+\mathcal{O}(h^2)\right)}-1\right)}{h}$

$=\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\ln x}\left(e^{e\frac{h}{x}}-1\right)}{h} $

$=e^{e\ln x}\lim_{h\to 0} \frac{e^{e\frac{h}{x}}-1}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$

$=x^e\lim_{h\to 0} \frac{e^{h/x}-1}{h/x}\cdot\frac{1}{x} \quad\text{(đặt $u=h/x$)}$

$=x^e\lim_{u\to 0} \frac{e^u-1}{u}\cdot\frac{1}{x}$

$=\frac{x^e}{x}$

b) $y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{(x+h)\ln a}-e^{x\ln a}}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x\ln a}\left(e^{h\ln a}-1\right)}{h}$

$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h}$

$=a^x\lim_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a}\cdot\ln a$

$=a^x\cdot\ln a$

Luyện tập 6 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2}-x}$

b) $y=3^{sinx}$

Trả lời

a) $y' = (f(g(x)))' $

$= f'(g(x))\cdot g'(x) $

$= e^{g(x)}\cdot (2x-1) $

$= e^{x^2-x}\cdot (2x-1)$

b) $y' = \frac{d}{dx}\left(3^{\sin x}\right) $

$= \frac{d}{dx}\left(e^{\ln 3 \cdot \sin x}\right) $

$= \frac{d}{dx}\left(\ln 3 \cdot \sin x\right)\cdot e^{\ln 3 \cdot \sin x} $

$= \ln 3 \cdot \cos x \cdot 3^{\sin x}$

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) sử dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$ và đẳng thức $ln(x+h)-ln{x}=ln(\frac{x+h}{x})=ln(1+\frac{h}{x})$ tính đạo hàm của hàm số $y =Inx$ tại điểm $x > 0$ bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của $y=\log_{a}x$

Trả lời

a) $y = Inx$

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{In(x+h)-Inx}{h}$

Sử dụng đẳng thức $ln(1+t)=t+o(t)$ khi $t\rightarrow 0$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{h}$

Áp dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$, ta có:

$y' = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}\cdot\frac{1}{x}$ (với $t = \frac{h}{x}$)

$y' = \frac{1}{x}$

b) $y=\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}$

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{lnx}{lna})$

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{d}{dx}(lnx)$

Sử dụng kết quả đã tính ở câu a), ta có:

$y' = \frac{1}{lna}\cdot\frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{x\cdot lnax}$

Luyện tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $\log_{2}(2x-1)$

Trả lời

$y' =(\log_{2}(2x-1))' = \frac{2}{(2x-1)\ln 2}$

Vận dụng 2 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ta đã biết, độ $pH$ của một dung dịch được xác định bởi $pH=-log[H^{+}]$, ở đó $[H^{+}]$ là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đỏi của $pH$ đối với nồng độ $[H^{+}]$

Trả lời

Với $pH=-log[H^{+}]$, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = \frac{d}{d[H^{+}]}(-log[H^{+}])$

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = \frac{d}{d[H^{+}]}(-1\cdot log[H^{+}])$

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -1\cdot \frac{d}{d[H^{+}]}(log[H^{+}])$

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số logarit tổng quát, ta có:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -1\cdot \frac{1}{[H^{+}]\ln 10}$

Vậy tốc độ thay đổi của $pH$ đối với nồng độ $[H^{+}]$ là:

$\frac{dpH}{d[H^{+}]} = -\frac{1}{[H^{+}]\ln 10}$

BÀI TẬP

Bài tập 9.6 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^{3}-3x^{2}+2x+1$

b) $y=x^{2}-4\sqrt{x}+3$

Trả lời

a) $y' = \frac{d}{dx}(x^{3}) - \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)$

$y' = 3x^{2} - 6x + 2$

b) $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ 

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = f'(x) + g'(x)$

$\frac{d}{dx}(cf(x)) = c f'(x)$ 

$y' = \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(4\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(3)$

$y' = 2x - 2\sqrt{x}$

Bài tập 9.7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{2x}{x^{2}+1}$

Trả lời

a) $y' = \frac{(2)(x+2) - (2x-1)(1)}{(x+2)^2}$

$y' = \frac{5}{(x+2)^2}$

b) $y' = \frac{(2)(x^{2}+1) - (2x)(2x)}{(x^{2}+1)^2}$

$y' = \frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^2}$

Bài tập 9.8 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xsin^{2}x$

b) $y=cos^{2}x+sin2x$

c) $sin3x-3sinx$

d) $tanx+cotx$

Trả lời

a) $y' = xsin2x + sin^{2}x$

$y' = sin^{2}x + xsin2x$

b) $y' = -2sin2x + 2cosx$

$y' = 2(cosx-sin2x)$

c) $y=sin3x-3sinx$

$y' = 3cos3x - 3cosx$

d) $y' = \frac{1}{cos^{2}x} - \frac{1}{sin^{2}x}$

$y' = \frac{sin^{2}x - cos^{2}x}{sin^{2}x\cdot cos^{2}x}$

$y' = \frac{sin2x}{sin^{2}$

Bài tập 9.9 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=2^{3x-x^{2}}$

b)$y=log_{3}(4x+1)$

Trả lời

a)$y'=2^{3x-x^{2}}.ln2.(3-2x)$

b) $y'\frac{4}{ln3}.\frac{1}{4x+1}.4=\frac{4}{(4x+1)ln3}$

Bài tập 9.10 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $f(x)=2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4}) Chứng minh rằng $\left | f'(x)\leq 6 \right |$ với mọi $x$.

Trả lời

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4})\right] $

$= 4sin(3x-\frac{\pi }{4})\cdot cos(3x-\frac{\pi }{4})\cdot 3 $

$= 6sin(6x-\frac{\pi }{2}) \ = 6cos(6x)$

Vì $-1\leq cos(6x)\leq 1$ với mọi $x$, nên ta có $\left|f'(x)\right|=\left|6cos(6x)\right|\leq 6$ với mọi $x$. Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

Bài tập 9.11 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t)= 100 – 4,9t^{2}$, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm $t = 5$ giây

b) Khi vật chạm đất.

Trả lời

a) Để tính vận tốc của vật tại thời điểm $t$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $h(t)$ tại thời điểm đó:

$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(100-4.9t^2)  = -9.8t $

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t=5$ giây là: $v(5) = -9.8 \cdot 5 = 49$ (m/s).

b) Vật chạm đất khi $h(t) = 0$, tức là:

$100-4.9t^2=0$

$\Rightarrow = \sqrt{\frac{100}{4,9}}$

$v_{f}=\sqrt{2gh_{0}}=\sqrt{2.9,8.100}=\sqrt{1960}=44,3 m/s$

Bài tập 9.12 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t)=12+0,5 sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Trả lời

Đạo hàm của hàm $s(t)$ theo thời gian $t$:

$v(t)=\frac{ds}{dt}=2\pi cos(4\pi t)4$

Ta thấy rằng hàm $v(t)$ là một hàm cosin với biên độ bằng $2\pi$, do đó giá trị lớn nhất của hàm này là $2\pi$. Vậy vận tốc cực đại của hạt là $2\pi$ cm/s.