Bài tập 9.32 trang 109 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH. Biết rằng $BH=16cm$, $CH=9cm$

a) Tính độ dài đoạn thẳng AH

b) Tính độ dài đoạn thằng AB và AC

Trả lời

a) Có $BC=BH+CH=16+9=25$

Xét tam giác AHC vuông tại H có: $AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$ (định lý Pythagore) (1)

Xét tam giác AHB vuông tại H có: $AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}$ (định lý Pythagore) (2)

Xét (1) + (2), có:

$2AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}+AB^{2}-BH^{2}$

$2AH^{2}=BC^{2}-CH^{2}-BH^{2}$

$2AH^{2}=25^{2}-9^{2}-16^{2}$

$2AH^{2}=288$

$AH^{2}=144$

$AH=12 (cm)$

b) Có  $AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$ (định lý Pythagore) 

=> $AC^{2}=12^{2}+9^{2}=225$

=> $AC=15(cm)$

Có  $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}$ (định lý Pythagore) 

=> $AB^{2}=12^{2}+16^{2}=400$

=> $AB=20(cm)$

 Bài tập 9.33 trang 109 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC có $AB=6cm$, $AC=8cm$, $BC=10cm$. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho $BM=4cm$. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB

Trả lời

a) Ta thấy $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có AC ⊥ AB

mà MP ⊥ AB

=> MP // AC

=> $\widehat{BMP}=\widehat{MCN}$ (2 góc đồng vị)

Xét tam giác vuông BMP (vuông tại P) và tam giác MCN (vuông tại N) có $\widehat{BMP}=\widehat{MCN}$ 

=> $\Delta BMP$ ~ $\Delta MCN$ 

b) Xét tam giác BMP và tam giác BAC có MP // AC

=> $\widehat{BPM}=\widehat{BAC}$ 

=> $\frac{4}{10}=\frac{PM}{8}$

=> $PM=3,2(cm)$

=> $BP=2,4$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BMP)

=> $AP=3,6$ (cm)

=> $AM=\sqrt{23.2}$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMP)

Bài tập 9.34 trang 109 Toán 8 tập 2 KNTT. Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) $\Delta AEH$ ~ $\Delta AHB$ 

b) $\Delta AFH$ ~ $\Delta AHC$ 

c) $\Delta AFE$ ~ $\Delta ABC$ 

Trả lời

a) Xét hai tam giác AEH (vuông tại E) và tam giác AHB (vuông tại H) có: góc A chung

=> $\Delta AEH$ ~ $\Delta AHB$ 

b) Xét hai tam giác AFH (vuông tại F) và tam giác AHC (vuông tại H) có: góc A chung

$\Delta AFH$ ~ $\Delta AHC$ 

a) Xét hai tam giác AEH (vuông tại E) và tam giác AHB (vuông tại H) có: góc A chung

=> $\Delta AEH$ ~ $\Delta AHB$ 

b) Xét hai tam giác AFH (vuông tại F) và tam giác AHC (vuông tại H) có: góc A chung

$\Delta AFH$ ~ $\Delta AHC$ 

c) Vì $\Delta AEH \sim \Delta AHB$ nên

$\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}$

=> $AE=\frac{AH^{2}}{AB}$ (1)

Vì $\Delta AFH \sim \Delta AHC$ nên

$\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}$

=> $AF=\frac{AH^{2}}{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\Delta AFE \sim \Delta ABC$

Bài tập 9.35 trang 109 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh $\Delta HBM$ ~ $\Delta HAN$ 

 Trả lời

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BHA$ có 

$\widehat{A}=\widehat{H}; \widehat{B}$ chung

=> $\Delta BAC \sim  \Delta BHA$

=> $\frac{BA}{BH}=\frac{AC}{HA} => \frac{HB}{HA}=\frac{BA}{AC}(1)$

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta AHC$ có 

$\widehat{A}=\widehat{H}; \widehat{C}$ chung

=> $\Delta BAC \sim  \Delta AHC$

=> $\widehat{HAC}=\widehat{ABC}(2)$

Vì M là trung điểm của AB nên $\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$

Vì N là trung điểm của AC nên $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

=> $\frac{BM}{BA}=\frac{AN}{AC} => \frac{BM}{AN}=\frac{BA}{AC} (3)$

Từ (1), (3) suy ra $\frac{HB}{HA}=\frac{BM}{AN}$

Xét hai tam giác HBM và HAN có

$\widehat{HAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}$

$\frac{HB}{HA}=\frac{BM}{AN}$

=> $\Delta HBM \sim \Delta HAN$ (c.g.c)

 Bài tập 9.36 trang 109 Toán 8 tập 2 KNTT. Vào gần buổi trưa, khi bóng bạn An dài 60 cm thì bóng cột cờ dài 3m

a) Biết rằng bạn An cao 1,4 m. Hỏi cột cờ cao bao nhiêu mét?

b) Vào buổi chiều khi bóng bạn An dài 3m, hỏi bóng cột cờ dài bao nhiêu mét? 

Trả lời

a) Gọi x là độ cao của cột đèn, có: $\frac{0,6}{3}=\frac{1,4}{x}$

=> $x=7m$

b) Gọi y là độ dài bóng cột cờ, có $\frac{3}{y}=\frac{1,4}{7}$

=> $y=15m$