1. Tính chất cơ bản của phân thức

 Hoạt động 1 trang 8 Toán 8 tập 2 KNTT: Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ với $2x$ ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho. 

Trả lời

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ với $2x$, ta có: $\frac{2x(x+y)}{2x(x-y)}$

Phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho vì cả tử và mẫu của phân thức đều nhân cùng với một số 

Hoạt động 2 trang 8 Toán 8 tập 2 KNTT

Tử và mẫu của phân thức $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$ có nhân tử chung là $x-1$. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được với phân thức đã cho. 

Trả lời

Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung $x-1$, ta có $\frac{x+1}{x^{2}+x+1}$ 

=> Phân thức mới được rút gọn và mất đi nhân tử chung $x-1$ 

Luyện tập 1 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT: Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

$\frac{30xy^{2}(x-y)}{45xy(x-y)^{2}}$=$\frac{2y}{3(x-y)}$

Trả lời

Khẳng định trên là đúng. Vì nhân cả tử và mẫu của phân thức$\frac{2y}{3(x-y)}$ với 15 ta được phân thức $\frac{30xy^{2}(x-y)}{45xy(x-y)^{2}}$ => $\frac{30xy^{2}(x-y)}{45xy(x-y)^{2}}$=$\frac{2y}{3(x-y)}$

 Luyện tập 2 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT: Giải thích vì sao $\frac{-x}{1-x}$=$\frac{x}{x-1}$

Trả lời

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{-x}{1-x}$ với -1 ta được phân thức $\frac{x}{x-1}$ => $\frac{-x}{1-x}$=$\frac{x}{x-1}$

2. Vận dụng

Hoạt động 3 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT:  Phân tích tử và mẫu của phân thức $\frac{2x^{2}+2x}{x^{2}-1}$ thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng 

Trả lời

$\frac{2x^{2}+2x}{x^{2}-1}$ =$\frac{2x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

=> Nhân tử chung là $x+1$

Luyện tập 3 trang 9 Toán 8 tập 2 KNTT: Liệu có phân thức nào đơn giản hơn nhưng bằng phân thức $\frac{x-y}{x^{3}-y^{3}}$ không nhỉ 

Trả lời

Ta có: $\frac{x-y}{x^{3}-y^{3}}$ =$\frac{x-y}{((x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$=$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Hoạt động 5 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT:  Hãy thực hiện các yêu cầu sau để quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{1}{2x^{2}+2x}$ và $\frac{1}{3x^{2}-6x}$. Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử

Trả lời

$\frac{1}{2x^{2}+2x}$=$\frac{1}{2x(x+1)}$

 $\frac{1}{3x^{2}-6x}$=$\frac{1}{3x(x-2)}$

Hoạt động 6 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT: Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. 

Trả lời

Mẫu thức chung: $6x(x+1)(x-2)$

Hoạt động 7 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó

Trả lời

Nhân tử phụ của $2x^{2}+2x$ là $3(x-2)$

Hoạt động 8 trang 10 Toán 8 tập 2 KNTT: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn

Trả lời

$\frac{1}{2x^{2}+2x}=\frac{3(x-2)}{6x(x+1)(x-2)}$

$\frac{1}{3x^{2}-6x}=\frac{2(x+1)}{6x(x+1)(x-2)}$

Nhân tử phụ của $3x^{2}-6x$ là $2(x+1)$

Luyện tập 4 trang 11 Toán 8 tập 2 KNTT: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{3x^{2}-3}$ và $\frac{1}{x^{3}-1}$

Trả lời

Ta có:$3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)$

         $x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$

MTC= $3(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)$

Nhân tử phụ của $3x^{2}-3$ là $x^{2}+x+1$

Nhân tử phụ của $x^{3}-1$ là $3(x+1)$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

 $\frac{1}{3x^{2}-3}=\frac{x^{2}+x+1}{3(x+1)(x^{3}-1)}$ và $\frac{1}{x^{3}-1}==\frac{3(x+1)}{3(x+1)(x^{3}-1)}$

 Bài tập 6.7 trang 11 Toán 8 tập 2 KNTT: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng. 

a) $\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x}$

b) $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}$

Trả lời

a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{(x-2)^{2}}{x}$ với $x-2$ ta có: 

 $\frac{(x-2)^{2}}{x}$= $\frac{(x-2)(x-2)^{2}}{x(x-2)}$= $\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x(x-2)}$=$\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}$

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{1-x}{-5x+1}$ với -1, ta có $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}$

Bài tập 6.8 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?"

$\frac{y-x}{4-x}=\frac{?}{x-4}$

Trả lời

Có $\frac{y-x}{4-x}=\frac{x-y}{x-4}$

Bài tập 6.9 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Rút gọn các phân thức sau 

a) $\frac{5x+10}{25x^{2}+50}$

b) $\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}$

c) $\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}$

Trả lời

a) $\frac{5x+10}{25x^{2}+50}=\frac{5(x+2)}{25(x^{2}+2)}=\frac{x+2}{5(x^{2}+2)}$

b) $\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}=\frac{3(3-x)}{(x-3)^{3}}$

c) $\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}-1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-x+1}$

Bài tập 6.10 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho phân thức $P=\frac{x+1}{x^{2}-1}$

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.

b) Tính giá trị của P và Q tại x=11. So sánh hai kết quả đó. 

Trả lời

a) $P=\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{x-1}$ 

=> $Q=\frac{x+1}{x-1}$ 

b) Thay x=11 vào P ta có $P=\frac{1}{10}$

    Thay x=11 vào Q ta có $Q=\frac{1}{10}$

=> Hai kết quả bằng nhau 

 Bài tập 6.11 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

$\frac{5x}{x+1}$ và $\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}$

Trả lời

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{5x}{x+1}$ với $1-x$, ta có: $\frac{5x(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-5x(x-1)}{(1-x)(x+1)}$

Vậy $a=-5$

Bài tập 6.12 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 

a) $\frac{1}{x^{3}-8}$ và $\frac{3}{4-2x}$

b) $\frac{x}{x^{2}-1}$ và $\frac{1}{x^{2}+2x+1}$

Trả lời

Ta có: $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$

           $4-2x=2(2-x)=-2(x-2)$

MTC$=-2(x-2)(x^{2}+2x+4)$

Nhân tử phụ của $x^{3}-8$ là -2

Nhân tử phụ của   $4-2x$ là $x^{2}+2x+4$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

$\frac{1}{x^{3}-8}=\frac{-2}{-2(x^{3}-8)}$ và $\frac{3}{4-2x}$=$\frac{3(x^{2}+2x+4)}{(4-2x)(x^{2}+2x+4)}$= $\frac{3(x^{2}+2x+4)}{-2(x^{3}-8)}$

Bài tập 6.13 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 

a) $\frac{1}{x+2}$;$\frac{x+1}{x^{2}-4x-4}$ và $\frac{5}{2-x}$

b) $\frac{1}{3x+3y}$; $\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}$ và $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}$

Trả lời

a) Ta có: $\frac{5}{2-x}=\frac{-5}{x-2}$

           $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$

MTC$=(x+2)(x-2)^{2}$

Nhân tử phụ của $x+2$ là $(x-2)^{2}$

Nhân tử phụ của $x^{2}-4x+4$ là $x+2$

Nhân tử phụ của $x-2$ là $(x+2)(x-2)$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\frac{1}{x+2}=\frac{(x-2)^{2}}{(x+2)(x-2)^{2}}$; $\frac{x+1}{x^{2}-4x-4}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^{2}}$ và $\frac{5}{2-x}=\frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^{2}}$

b) Ta có: $3x+3y=3(x+y)$

              $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

              $x^{2}+2xy+y^{2}= (x-y)^{2}$

MTC$=3(x+y)(x-y)^{2}$

Nhân tử phụ của $3x+3y$ là: (x-y)^{2}

Nhân tử phụ của$x^{2}-y^{2}$ là: $3(x-y)$

Nhân tử phụ của $x^{2}+2xy+y^{2}$ là: $3(x+y)$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

$\frac{1}{3x+3y}=\frac{(x-y)^{2}}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

$\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{6x(x-y)}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}=\frac{3(x^{2}-xy+y^{2})(x+y)}{3(x+y)(x-y)^{2}}$

Bài tập 6.14 trang 12 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho hai phân thức: $\frac{9x^{2}+3x+1}{27x^{3}-1}$ và $\frac{x^{2}-4x}{16-x^{2}}$

a) Rút gọn hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a 

Trả lời

a) Ta có

$\frac{9x^{2}+3x+1}{27x^{3}-1}=\frac{9x^{2}+3x+1}{(3x-1)(9x^{2}+3x+1)}=\frac{1}{3x-1}$

$\frac{x^{2}-4x}{16-x^{2}}=\frac{x(x-4)}{(4-x)(4+x)}=\frac{-x(4-x)}{(4-x)(4+x)}=\frac{-x}{4+x}$

b) Mẫu thức chung của hai phân thức nhân được ở câu a là $(3x-1)(4+x)$

Nhân tử phụ của $\frac{1}{3x-1} là 4+x$

Nhân tử phụ của $\frac{-x}{4+x} là 3x-1$

=> $\frac{1}{3x-1}=\frac{4+x}{(3x-1)(4+x)}$

$\frac{-x}{4+x}=\frac{-x(3x-1)}{(4+x)(3x-1)}$

Luyện tập chung

Bài tập 6.15 trang 14 Toán 8 tập 2 KNTT: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{4xy^{2}}$ và $\frac{5}{6x^{2}y}$

b) $\frac{9}{4x^{2}-36}$ và $\frac{1}{x^{2}+6x+9}$

Trả lời

a) $\frac{1}{4xy^{2}}$ và $\frac{5}{6x^{2}y}$

MTC=12x^{2}y^{2}

Nhân tử phụ của $4xy^{2}$ là: 3x

Nhân tử phụ của $6x^{2}y$ là: 2y 

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

 $\frac{1}{4xy^{2}}=\frac{3x}{12x^{2}y^{2}}$ và $\frac{5}{6x^{2}y}=\frac{10y}{12x^{2}y^{2}}$

b)$\frac{9}{4x^{2}-36}$ và $\frac{1}{x^{2}+6x+9}$

Có: $4x^{2}-36=4(x-3)(x+3)$

      $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$

=> MTC=$4(x-3)((x+3)^{2}$

Nhân tử phụ của $4x^{2}-36$ là $x+3$

Nhân tử phụ của $x^{2}+6x+9$ là $4(x-3)$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\frac{9}{4x^{2}-36}=\frac{9(x+3)}{4(x-3)((x+3)^{2}}$ và $\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{4(x-3)}{4(x-3)((x+3)^{2}}$

Bài tập 6.16 trang 14 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho phân thức $P=\frac{x^{3}-4x}{(x+2)^{2}}$

a) Viết điều kiện xác định của phân thức

b) Rút gọn phân thức P

c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại $x=98$

Trả lời

a) Điều kiện xác định của P là: $x+2\neq 0$ => $x\neq -2$

b) $P=\frac{x^{3}-4x}{(x+2)^{2}}=\frac{x(x^{2}-4)}{(x+2)^{2}}=\frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2}}=\frac{x(x-2)}{x+2}$

c) Có $x=98$ thỏa mãn điều kiện xác định của P

=> $P=\frac{98(98-2)}{98+2}=\frac{9408}{100}$

Bài tập 6.17 trang 14 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho hai phân thức$\frac{x^{2}+5x}{(x-10)(x^{2}+10x+25)}$ và 

$\frac{x^{2}+10x}{x^{4}-100x^{2}z}$

a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu P và Q là hai phân thức nhận được

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức P và Q

Trả lời

a) - Có $P=\frac{x^{2}+5x}{(x-10)(x^{2}+10x+25)}=\frac{x(x+5)}{(x-10)(x+5)^{2}}=\frac{x}{(x-10)(x+5)}$

- Có $Q=\frac{x^{2}+10x}{x^{4}-100x^{2}}=\frac{x(x+10)}{x^{2}(x-10)(x+10)}=\frac{1}{x(x-10)}$

b) MTC= $x(x-10)(x+5)$

Nhân tử phụ của $(x-10)(x^{2}+10x+25)$ là $x$

Nhân tử phụ của $x^{4}-100x^{2}$ là $x+5$

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

$P=\frac{x}{(x-10)(x+5)}=\frac{x^{2}}{x(x-10)(x+5)}$ và $Q=\frac{1}{x(x-10)}=\frac{x+5}{x(x-10)(x+5)}$

Bài tập 6.18 trang 14 Toán 8 tập 2 KNTT: Lúc 6 giờ sáng, bác Vinh lái ô tô xuất phát từ Hà Nội đi huyện Tĩnh Gia (Thanh Hóa). Khi đến Phủ Lý (Hà Nam), cách Hà Nội khoảng 60k, bác Vinh dừng lại ăn sáng trong 20 phút. Sau đó, bác Vinh tiếp tục đi về Tĩnh Gia và phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến nơi đúng giờ dự định.

a) Gọi x(km/h) là vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý. Hãy viết các phân thức biểu thị thời gian bác VInh chạy xe trên các quãng đường Hà Nội - Phủ Lý và Phủ Lý - Tĩnh Gia, biết rằng quãng đường Hà Nội - Tĩnh Gia có chiều dài khoảng 200km 

b) Nếu vận tốc ô tô đi trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý là 60km/h thì bác Vinh đến Tĩnh Gia lúc mấy giờ

Trả lời

a) Phân thức biểu thị thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Hà Nội - Phủ Lý: $t1=\frac{60}{x}$ (giờ)

Phân thức biểu thị thời gian bác Vinh chạy xe trên quãng đường Phủ Lý - Tĩnh Gia: $t2=\frac{140}{x}$ (giờ)

b) Thay x=60 (km/h), ta có: $t1=1$ (giờ),  $t2=\frac{7}{3}$ (giờ)

=> Thời gian bác Vinh đi từ quãng đường Hà Nội đến Tĩnh Gia là: $t1+t2=\frac{7}{3}$ (giờ)= 3 tiếng 20 phút 

=> Vậy tính cả thời gian nghỉ ăn sáng 20 phút, bác Vinh sẽ đến lúc: 9 giờ 40 phút

Bài tập 6.19 trang 14 Toán 8 tập 2 KNTT: Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước tính cần chi phí là $\frac{1,7x}{100-x}$ (tỉ đồng)

a) Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu?

b) Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{1,7x}{100-x}$. Hỏi có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy hay không

Trả lời

a) Chi phí để loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm là: $\frac{1,7.90}{100-90}$= $15.3$ (tỉ đồng)

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1,7x}{100-x}$: 1$00-x\neq 0$ => $x \neq 100$.  

Không thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy vì không thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức