MỞ ĐẦU

Câu hỏi: Liệu phân thức nào đơn giản nhưng bằng phân thức 

$\frac{x-y}{x^3-y^3}$  không nhỉ?

Trả lời: 

Ta có: $\frac{x-y}{x^3-y^3}$=$\frac{x-y}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=$\frac{1}{x^2+xy+y^2}$

1. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

KHÁM PHÁ

Hoạt động 1: Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức 

$\frac{x+y}{x-y}$ với 2x ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho. 

Trả lời: 

Trả lời: 

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x}{x-1}$ với -1  ta được phân thức

$\frac{-x}{1-x}$=>$\frac{-x}{1-x}$ = $\frac{x}{x-1}$

2. VẬN DỤNG

KHÁM PHÁ 

Hoạt động 3: Phân tích tử và mẫu của phân thức 

$\frac{2x^2+2x}{x^2-1}$ thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng 

Trả lời: 

$\frac{-ax^2-ax}{x^2-1}$ và $\frac{3x}{x-1}$

Trả lời: 

Ta có: $\frac{1}{2x^2+2x}$ = $\frac{1}{2x(x+1)}$

$\frac{1}{3x^2-6x}$ = $\frac{1}{3x(x-2)}$

Hoạt động 6: Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất. 

Trả lời: 

Mẫu thức chung: 6x(x+1)(x−2)

Hoạt động 7: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó

Trả lời: 

Nhân tử phụ của 2$x^2$ +2x là 3(x−2)

Nhân tử phụ của 3$x^2$ −6x là 2(x+1)

Hoạt động 8: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn

Trả lời: 

Ta có: $\frac{1}{2x^2+2x}$=$\frac{1}{2x(x+1)}$=$\frac{3x(x-2)}{6x(x+1)(x-2)}$

$\frac{1}{3x^2-6x}$=$\frac{1}{3x(x-2)}$=$\frac{2x(x+1)}{6x(x+1)(x-2)}$

$\frac{5x}{x+1}$ và $\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}$

Trả lời: 

Nhân cả tử và mẫu của phân thức$\frac{5x}{x+1}$  với 1 – x, ta có:

$\frac{5x(1-x)}{(1-x)(x+1)}$=$\frac{-5x(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Vậy a = -5.

Bài 6.12: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{(x^3-8)}$ và $\frac{3}{4-2x}$

b) $\frac{x}{(x^2-1)}$ và $\frac{1}{x^2+2x+1}$

Trả lời: 

a) Ta có: $x^3$−8=(x−2)($x^2$ + 2x +4)

4−2x=2(2−x)=−2(x−2)

Mẫu thức chung là: −2(x−2)($x^2$+2x+4)

Nhân tử phụ của $x^3$ -8 là -2

Nhân tử phụ của 4 -2x là $x^2$ + 2x +4

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\frac{1}{x^3-8}$ = $\frac{-2}{-2(x^3-8}$

$\frac{3}{4-2x}$=$\frac{3(x^2 +2x +4)}{(4 -2x)($x^2$ + 2x +4)}$=$\frac{3(x^2 +2x +4)}{-2(x^3-8)}$

Ta có: $x^2$ - 1 = (x-1)(x+1)

$x^2$ +2x + 1 = $(x+1)^2$

Mẫu thức chung là: $(x+1)^2$

Nhân tử phụ của $\frac{x}{x^2-1}$ là x +1

 Nhân tử phụ của $\frac{1}{x^2 +2x + 1}$ là x – 1

Khi đó:

$\frac{x}{x^2-1}$ = $\frac{x(x+1)}{x-1}^2(x-1)$

$\frac{1}{x^2 +2x + 1}$ = $\frac{(x-1)}{x-1}^2(x-1)$

Bài 6.13: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{x+2}$; $\frac{x+1}{x^4 - 4x +4}$ và $\frac{5}{2-x}$

b) $\frac{1}{3x +3y}$; $\frac{2x}{x^2 -y^2}$ và $\frac{x^2 -xy +y^2}{x^2 -2xy +y^2}$

Trả lời:

a) Ta có: $\frac{5}{2-x}$ = $\frac{-5}{x-2}$

$x^2$ -4x + 4 = $(x-2)^2$

MTC =  (x+2)$(x-2)^2$

Nhân tử phụ của x + 2 là $(x-2)^2$

Nhân tử phụ của x-2 là  $x^2$ -4x + 4

Nhân tử phụ của x - 2 là (x+2)(x−2)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\frac{1}{x+2}$=$\frac{(x+2)^2}{(x+2)((x−2)^2$}$

$\frac{x+1}{$x^2$ -4x + 4}$ = $\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2}$

$\frac{5}{2-x}$ = $\frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^2}$

b) Ta có: 3x+3y=3(x+y)

$x^2$ - $y^2$ =(x−y)(x+y)

$x^2$ +2xy +$y^2$ = (x-y)^2$

MTC=3(x+y)$(x-y)^2$

Nhân tử phụ của 3x+3y là: $(x-y)^2$

Nhân tử phụ của $x^2$ - $y^2$ là: 3(x−y)

Nhân tử phụ của $x^2$ +2xy +$y^2$ là: 3(x+y)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

$\frac{1}{3x+3y}$=$\frac{(x-y)^2}{3(x+y)(x-y)^2}$

$\frac{2x}{x^2-y^2}$ = $\frac{6x(x-y)}{3(x+y)(x-y)^2}$

$\frac{x^2-xy+y^2}{x^2 -2xy +y^2}$=$\frac{3(x^2-xy+y^2)(x+y)}{3(x+y)(x-y)^2}$

Bài 6.14: Cho hai phân thức: $\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}$ và $\frac{x^2-4x}{16-x^2}$

a) Rút gọn hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a)

Trả lời:

a) Ta có:

$\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}$ = $\frac{9x^2 + 3x + 1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$=$\frac{1}{3x-1}$

$\frac{x^2-4x}{16-x^2}$=$\frac{x(x-4)}{(4-x)(4+x)}$= $\frac{-x}{4+x}$

b) Mẫu thức chung của hai phân thức nhân được ở câu a là: (3x−1)(4+x)(3x−1)(4+�)

Nhân tử phụ của $\frac{1}{3x-1}$ là: 4+x

Nhân tử phụ của $\frac{-x}{4+x}$ là 3x-1

Khi đó:

$\frac{1}{3x-1}$=$\frac{4+x}{(3x-1)(4+x)}$