a) Gọi Q là giao điểm của AD và EF.

Ta có: M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB nên D, E, F lần lượt là điểm chính giữa của các cung BC, cung AC, cung AB.

$\Rightarrow $ AD, BE, CF lần lượt là tia phân giác của các góc $\widehat{BAC};\;\widehat{ABC};\;\widehat{ACB}$

• Xét cung nhỏ AF: $Sd AF = 2\widehat{C_1} = \widehat{ACB}$ (1)

• Xét cung nhỏ DE:

cung DE = cung DC + cung CE.

$sd DC = 2\widehat{A_1} = \widehat{BAC}$

$sd EC = 2\widehat{B_1} = \widehat{ABC}$

$\Rightarrow sd DE = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow sd DE + sd AF = \widehat{ACB} + \widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

Lại có: $\widehat{AQF}$ là góc trong của (O; R) $\Rightarrow \widehat{AQF} = \frac{1}{2}(sd DE + sd AF) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\Rightarrow $ AD vuông góc với EF tại Q

b) Xét tam giác $\bigtriangleup AIC$ có $\widehat{I_1} = \widehat{A_1} + \widehat{C_1}$ (tính chất góc ngoài). (1)

Ta có: $\widehat{ICD} = \widehat{C_2} + \widehat{C_3}$

Mà $\widehat{C_3} = \widehat{A_2}$(Góc nội tiếp cùng chắn cung BD) $= \widehat{A_1} $ (Do AD là tia phân giác góc BAC)

$\widehat{C_2} = \widehat{C_1}$ (Do CF là tia phân giác góc ACB)

$\Rightarrow \widehat{ICD} = \widehat{C_2} + \widehat{C_3} = \widehat{A_1} + \widehat{C_1}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tam giác IDC cân tại D, hay ID = IC.