a) Theo bài ra ta có: $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow $ AB = $\frac{3}{4}$AC

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ $\Leftrightarrow $ $(\frac{3}{4}AC)^{2}$ + $AC^{2}$ = $10^{2}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{25}{16}$$AC^{2}$ = 100 $\Leftrightarrow $ AC = 8cm.

$\Rightarrow $ AB = 6cm.

Vậy AB = 6cm, AC = 8cm.

b) * Theo tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{AM}{BA}$ = $\frac{MC}{BC}$ = $\frac{AM + MC}{BA + BC}$ = $\frac{AC}{BA + BC}$ =  $\frac{8}{6 + 10}$ = $\frac{1}{2}$

$\Rightarrow $ AM = $\frac{1}{2}$.BA = $\frac{1}{2}$.6 = 3cm

                        MC = $\frac{1}{2}$.BC = $\frac{1}{2}$.10 = 5cm.

* Ta có tính chất hai đường phân giác trong và ngoài của một góc thì vuông góc với nhau, do đó BM $\perp $ BN

Áp dụng công thức $h^{2}$ = b'.c' cho tam giác vuông BMN ta có:

$AB^{2}$ = AM.AN $\Rightarrow $ AN = 12cm

Suy ra MN = AN + AM = 12 + 3 = 15cm

Vậy MC = 5cm, MN = 15cm.