a) Ta có: MB = MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow $ $\Delta $BAC vuông tại A.

Ta có: $\widehat{BMO}$ = $\widehat{AMO}$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), mặt khác $\Delta $ BMA cân $\Rightarrow $ OM $\perp $ AB 

Tương tự ta chứng minh được O'M $\perp $ AC

Suy ra ta chứng minh được tứ giác AEMF có ba góc vuông $\widehat{EAF}$ = $\widehat{MEA}$ = $\widehat{MFA}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ tứ giác AEMF là hình chữ nhật $\Rightarrow $ AM = EF (đpcm).

b) $\Delta $MOA vuông tại A nên $MA^{2}$ = ME.MO

    $\Delta $MO'A vuông tại A nên $MA^{2}$ = MF.MO'

$\Rightarrow $ ME.MO = MF.MO' (đpcm).

c) Tứ giác OO'CB có OB $\perp $ BC, O'C $\perp $ BC nên tứ giác OO'CB là hình thang vuông

Ta có M là trung điểm của BC

Gọi P là trung điểm của OO'

Hình thang OO'CB có MP là đường trung bình $\Rightarrow $ MP // OB // O'C $\Rightarrow $ MP $\perp $ BC 

Hay BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.