a) - Ta có \(OM\), \(ON\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {AOP}\) và \(\widehat {BOP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(\widehat {AOP}\) kề bù \(\widehat {BOP}\) nên suy ra \(OM\) vuông góc với \(ON\). (tính chất 2 tiếp tuyến của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Vậy \(∆MON\) vuông tại \(O\) => $\widehat{MON}=90^{\circ}$

- Ta có: Tứ giác \(AOPM\) nội tiếp một đường tròn vì có \(\widehat{MAP}\) + \(\widehat{MPO}\) = \(180^0\) (2 góc vuông do Ax và MP là 2 tiếp tuyến của (O) tại A và P).  => \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\) (cùng chắn cung \(OP\) trong đường tròn đường kính OM).

Xét hai tam giác \(MON\) và \(APB\) có:

$\widehat{MON}=\widehat{APB} (=90^{\circ})$

 \(\widehat{PMO}\) = \(\widehat{PAO}\)  (cmt)

=> $\Delta MON \sim \Delta APB $ (g.g)

b)Ta có: \(AM = MP, BN = NP\) (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

Tam giác vuông \(MON\) có \(OP\) là đường cao nên: \(MP.PN = OP^2\) (Hệ thúc lượng trong tam giác vuông)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM.BN = {OP^2} = {R^2}\)

c) Ta có: $\Delta MON \sim \Delta APB$ (cmt)

=> $\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{AP}=\frac{ON}{PB}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ) (3)

Ta có: $S_{MON}=\frac{1}{2}.OM.ON$

         $S_{APN}=\frac{1}{2}.AP.PB$

=> $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=\frac{OM.ON}{AP.PB}=\frac{OM}{AP}.\frac{ON}{PB}$

Thay (3) vào ta có: $\frac{S_{MON}}{S_{APN}}=(\frac{MN}{AB})^{2}=\frac{MN^{2}}{AB^{2}}$

Khi \(AM\) = \(\frac{R}{2}\) thì từ \(AM.BN = {R^{2{\rm{ }}}}\) suy ra \(BN = 2R\)

Do đó \(MN = MP + PN = AM + BN\) = \(\frac{R}{2}\) + \(2R\) =  \(\frac{5R}{2}\)

Suy ra \(MN^2\) = \(\frac{25R^2}{4}\)

Vậy \(\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\) = \(\frac{ \frac{25R^2}{4}}{(2R)^2}= \frac{25}{16}\)

d) Nửa hình tròn \(APB\) quay quanh đường kính \(AB = 2R\) sinh ra một hình cầu có bán kính \(R\).

Vậy thể tích hình câu được sinh ra là: \(V\) =  \(\frac{4}{3}\)\(πR^3\)